北京工业大学 2019年数学分析第0题

已知约束条件为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$，函数为 $f(x,y,z)=\ln x+\ln y+3\ln z$。由于对数函数要求真数大于0，所以必须有 $x>0,\ y>0,\ z>0$，即我们在第一卦限的球面上求最大值。

因为对数函数是单调递增的，最大化 $f$ 等价于最大化它的指数形式，即最大化 $g(x,y,z)=x y z^{3}$，在同样的约束 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$ 且 $x,y,z>0$ 下。这样处理可以避免求导时对数带来的麻烦。

设拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda)=x y z^{3}+\lambda(5-x^{2}-y^{2}-z^{2})$。分别对 $x,y,z$ 求偏导并令其为零： 对 $x$：$\frac{\partial L}{\partial x}=y z^{3}-2\lambda x=0 \Rightarrow y z^{3}=2\lambda x$ (1) 对 $y$：$\frac{\partial L}{\partial y}=x z^{3}-2\lambda y=0 \Rightarrow x z^{3}=2\lambda y$ (2) 对 $z$：$\frac{\partial L}{\partial z}=3x y z^{2}-2\lambda z=0 \Rightarrow 3x y z^{2}=2\lambda z$，由于 $z>0$，可约去 $z$ 得 $3x y z=2\lambda$ (3)

由(1)和(2)可得比例关系：(1)除以(2)得 $\frac{y z^{3}}{x z^{3}}=\frac{2\lambda x}{2\lambda y} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{x}{y}$，即 $y^{2}=x^{2}$，由于正数得 $y=x$。将 $y=x$ 代入(1)：$x z^{3}=2\lambda x$，由于 $x>0$，约去 $x$ 得 $z^{3}=2\lambda$ (4)。由(3)：$3 x^{2} z=2\lambda$，结合(4)得 $3 x^{2} z=z^{3}$，由于 $z>0$，两边除以 $z$ 得 $3 x^{2}=z^{2}$，即 $z=\sqrt{3}\,x$（取正根）。

将 $y=x$ 和 $z=\sqrt{3}\,x$ 代入约束条件 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$，得 $x^{2}+x^{2}+3x^{2}=5x^{2}=5$，所以 $x^{2}=1$，由于 $x>0$，得 $x=1$，进而 $y=1$，$z=\sqrt{3}$。

将 $x=1,\ y=1,\ z=\sqrt{3}$ 代入原函数 $f(x,y,z)=\ln x+\ln y+3\ln z$，得 $f=\ln 1+\ln 1+3\ln\sqrt{3}=0+0+3\cdot\frac{1}{2}\ln 3=\frac{3}{2}\ln 3$。因为这是唯一驻点且在边界上函数值会趋于负无穷（变量趋近0时对数趋于负无穷），所以该点是最大值点。

代入 $x=1, y=1, z=\sqrt{3}$ 得： $$f_{\max} = \ln 1 + \ln 1 + 3\ln \sqrt{3} = 0 + 0 + 3 \cdot \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{3}{2} \ln 3$$