北京工业大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
二．（ 15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x^{2}-25}=\frac{1}{10}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简函数表达式
因式分解分母：$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$，当 $x \neq 5$ 时，有
\[
\frac{x-5}{x^2-25} = \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x+5}.
\]
因此原极限等价于证明 $\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{1}{x+5} = \frac{1}{10}$。
公式：\frac{x-5}{x^2-25} = \frac{1}{x+5}
提示：注意化简时 $x \neq 5$，但极限过程只关心 $x$ 趋近于 5 而不等于 5，所以化简有效。
步骤 2/7
目标：写出要证明的不等式
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，需要找到 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x-5| < \delta$ 时，有
\[
\left| \frac{1}{x+5} - \frac{1}{10} \right| < \varepsilon.
\]
公式：\left| \frac{1}{x+5} - \frac{1}{10} \right| < \varepsilon
提示：这是 $\varepsilon-\delta$ 语言的起点，明确目标不等式。
步骤 3/7
目标：计算差值的表达式
计算差值并化简：
\[
\left| \frac{1}{x+5} - \frac{1}{10} \right|
= \left| \frac{10 - (x+5)}{10(x+5)} \right|
= \left| \frac{5 - x}{10(x+5)} \right|
= \frac{|x-5|}{10|x+5|}.
\]
公式：\left| \frac{1}{x+5} - \frac{1}{10} \right| = \frac{|x-5|}{10|x+5|}
提示：通分时注意符号，绝对值处理要小心。
步骤 4/7
目标：限制 x 的范围以控制分母
取 $\delta_1 = 1$，则当 $|x-5| < 1$ 时，有 $4 < x < 6$，从而 $9 < x+5 < 11$，因此 $|x+5| > 9$，即
\[
\frac{1}{|x+5|} < \frac{1}{9}.
\]
公式：|x+5| > 9 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{|x+5|} < \frac{1}{9}
提示：先限定 $x$ 的邻域，避免分母过小导致不等式放缩失效。
步骤 5/7
目标：放缩差值表达式
利用上一步的不等式放缩：
\[
\frac{|x-5|}{10|x+5|} < \frac{|x-5|}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{|x-5|}{90}.
\]
公式：\frac{|x-5|}{10|x+5|} < \frac{|x-5|}{90}
提示：分母越大分数越小，注意放缩方向。
步骤 6/7
目标：确定 δ 的取值
要使 $\frac{|x-5|}{90} < \varepsilon$，只需 $|x-5| < 90\varepsilon$。结合之前的限制 $|x-5| < 1$，取
\[
\delta = \min\{1,\, 90\varepsilon\}.
\]
公式：\delta = \min\{1,\, 90\varepsilon\}
提示：取最小值保证同时满足两个条件。
步骤 7/7
目标：验证极限定义
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \min\{1,\, 90\varepsilon\}$，则当 $0 < |x-5| < \delta$ 时，有 $|x-5| < 1$ 且 $|x-5| < 90\varepsilon$，从而
\[
\left| \frac{x-5}{x^2-25} - \frac{1}{10} \right|
= \frac{|x-5|}{10|x+5|} < \frac{|x-5|}{90} < \varepsilon.
\]
因此极限成立。
公式：\left| \frac{x-5}{x^2-25} - \frac{1}{10} \right| < \varepsilon
提示：最后一步要回到原函数，并明确写出结论。
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