北京工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
一．设常数 $\displaystyle a>1$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 存在子列 $\displaystyle \left\{x_{n_{k}}\right\}$ 满足：对任意的正整数 $k$ ，有
$$
\left|x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}\right|<a^{-k}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾收敛数列的柯西性质
由于数列 $\{x_n\}$ 收敛，根据柯西收敛准则，$\{x_n\}$ 是柯西列。即对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n \geq N$ 时，有 $|x_m - x_n| < \varepsilon$。
公式：收敛 $\Rightarrow$ 柯西：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m,n\geq N: |x_m-x_n|<\varepsilon$
提示：注意柯西性质是构造子列的基础，它保证我们可以任意精确地控制后续项之间的差距。
步骤 2/6
目标：设定递减的精度序列
因为 $a>1$，所以 $a^{-k}$ 是一个严格递减且趋于 0 的正数序列。我们取 $\varepsilon_k = a^{-k}$ 作为每一步的精度要求。
公式：$\varepsilon_k = a^{-k} \quad (k=1,2,3,\dots)$
提示：选择 $a^{-k}$ 是因为题目要求最终不等式右边是 $a^{-k}$，这样构造时可以直接匹配。
步骤 3/6
目标：构造子列的第一项
取 $\varepsilon_1 = a^{-1}$，由柯西性质，存在正整数 $M_1$，使得当 $m,n \geq M_1$ 时，有 $|x_m - x_n| < a^{-1}$。令 $n_1 = M_1$，作为子列的第一项。
公式：$\exists M_1, \forall m,n\geq M_1: |x_m-x_n|
提示：这里 $M_1$ 是存在的，但可能不是唯一的，我们只需要任意选取一个即可。
步骤 4/6
目标：递归构造后续子列项
假设已经构造出 $n_{k-1}$（$k\geq 2$），现在构造 $n_k$。取 $\varepsilon_k = a^{-k}$，由柯西性质，存在正整数 $M_k$，使得当 $m,n \geq M_k$ 时，有 $|x_m - x_n| < a^{-k}$。我们进一步要求 $M_k > n_{k-1}$（这总是可以做到的，因为柯西条件对更大的下标也成立，只需取足够大的 $M_k$ 即可）。令 $n_k = M_k$。
公式：$\exists M_k > n_{k-1}, \forall m,n\geq M_k: |x_m-x_n|
提示：强制 $M_k > n_{k-1}$ 是为了保证子列下标严格递增，这是子列定义的要求。
步骤 5/6
目标：验证子列满足不等式
对于任意正整数 $k$，由于 $n_k = M_k$ 且 $n_{k+1} = M_{k+1} > M_k$，因此 $n_k$ 和 $n_{k+1}$ 都大于等于 $M_k$。根据 $M_k$ 的柯西性质，有 $|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}| < a^{-k}$。
公式：$n_k, n_{k+1} \geq M_k \Rightarrow |x_{n_{k+1}}-x_{n_k}| < a^{-k}$
提示：注意这里用的是 $M_k$ 对应的不等式，而不是 $M_{k+1}$ 的，因为 $n_{k+1}$ 虽然更大，但 $n_k$ 可能小于 $M_{k+1}$，所以不能直接用 $M_{k+1}$ 的条件。
步骤 6/6
目标：总结证明
我们通过递归构造得到了一个严格递增的下标序列 $\{n_k\}$，从而 $\{x_{n_k}\}$ 是 $\{x_n\}$ 的一个子列，并且对每个 $k$ 都满足 $|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}| < a^{-k}$。证毕。
公式：子列 $\{x_{n_k}\}$ 满足 $\forall k\in\mathbb{N}^+: |x_{n_{k+1}}-x_{n_k}|
提示：整个构造的关键是灵活运用柯西性质，并逐步提高门槛以保证下标递增和精度要求。
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