📝 北京工业大学 2020年数学分析真题

一．设常数 $\displaystyle a>1$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 存在子列 $\displaystyle \left\{x_{n_{k}}\right\}$ 满足：对任意的正整数 $k$ ，有

$$
\left|x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}\right|<a^{-k}
$$

七．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数．

九．计算曲线 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}=\frac{x}{a}-\frac{y}{b}(a>0, b>0)$ 与 $\displaystyle y=0$ 所围成区域 $R$ 的面积．

二．用极限定义证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{b}$ ．

五．求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+12 x-1$ 在区间 $\displaystyle [-2,3]$ 上的最大值与最小值．
六。证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(t) \mathrm{d} t=\int_{c}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．

八．在半径为 $a$ 的半球内，求体积最大的内接长方体的边长．

十．计算第二型曲面积分

$$
\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $S$ 是立方体 $\displaystyle 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a$ 的表面，外法线为正方向．

四．证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且函数值集合也是 $\displaystyle [a, b]$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}$ ．