北京工业大学 2020年数学分析第0题

将半球底面放在 $z=0$ 平面，球心在原点 $(0,0,0)$，半球朝上（$z \ge 0$）。设内接长方体对称于 $z$ 轴，底面在 $z=0$ 上，顶面与球面接触。设长方体底面半宽为 $x$，半长为 $y$，高度为 $z$，则实际边长分别为 $2x$、$2y$、$z$。由于顶部顶点在半球面上，满足球面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，其中 $x>0, y>0, z>0$。

长方体体积为 $V = (2x)(2y)z = 4xyz$。由约束条件 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，解出 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，代入得 $V(x,y) = 4xy \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，定义域为 $x>0, y>0, x^2+y^2 < a^2$。

为简化计算，考虑 $F = V^2 = 16 x^2 y^2 (a^2 - x^2 - y^2)$，最大化 $V$ 等价于最大化 $F$。对 $x$ 求偏导： $$\frac{\partial F}{\partial x} = 16 \left[ 2x y^2 (a^2 - x^2 - y^2) + x^2 y^2 (-2x) \right] = 0$$ 化简得 $2x y^2 \left[ (a^2 - x^2 - y^2) - x^2 \right] = 0$，由于 $x>0, y>0$，得 $a^2 - 2x^2 - y^2 = 0$，即 $2x^2 + y^2 = a^2$。 同理对 $y$ 求偏导： $$\frac{\partial F}{\partial y} = 16 \left[ 2y x^2 (a^2 - x^2 - y^2) + x^2 y^2 (-2y) \right] = 0$$ 化简得 $2x^2 y \left[ a^2 - x^2 - y^2 - y^2 \right] = 0$，得 $a^2 - x^2 - 2y^2 = 0$，即 $x^2 + 2y^2 = a^2$。

联立方程组： $$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = a^2 \\ x^2 + 2y^2 = a^2 \end{cases}$$ 两式相减得 $(2x^2 + y^2) - (x^2 + 2y^2) = 0$，即 $x^2 - y^2 = 0$，所以 $x^2 = y^2$，由正数得 $x = y$。代入第一个方程：$2x^2 + x^2 = 3x^2 = a^2$，解得 $x^2 = \frac{a^2}{3}$，故 $x = y = \frac{a}{\sqrt{3}}$。再由球面方程 $z^2 = a^2 - x^2 - y^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{3}$，得 $z = \frac{a}{\sqrt{3}}$。

长方体实际边长：长 $2x = \frac{2a}{\sqrt{3}}$，宽 $2y = \frac{2a}{\sqrt{3}}$，高 $z = \frac{a}{\sqrt{3}}$。由于这是定义域内唯一的驻点，且当 $x \to 0$ 或 $y \to 0$ 或 $x^2+y^2 \to a^2$ 时体积趋于 $0$，因此该点给出最大值。

边界情况：当 $x \to 0$ 或 $y \to 0$ 或 $x^2+y^2 \to a^2$ 时，体积趋近于 $0$。内部仅有一个驻点，由实际意义可知该驻点对应最大值。

因此，体积最大的内接长方体的长、宽、高分别为 $\frac{2a}{\sqrt{3}}$、$\frac{2a}{\sqrt{3}}$、$\frac{a}{\sqrt{3}}$。