北京工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
四．证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且函数值集合也是 $\displaystyle [a, b]$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
定义函数 $g(x) = f(x) - x$。由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，而 $x$ 也是连续的，因此 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。我们的目标是证明存在 $x_0 \in [a, b]$ 使得 $g(x_0) = 0$，即 $f(x_0) = x_0$。
公式：g(x) = f(x) - x
提示：辅助函数法是处理不动点问题的常用技巧，将方程根的问题转化为函数零点问题。
步骤 2/4
目标：分析端点处的函数值
由于 $f$ 的值域是 $[a, b]$，因此对于 $x = a$，有 $f(a) \in [a, b]$，所以 $f(a) \geq a$，从而 $g(a) = f(a) - a \geq 0$。对于 $x = b$，有 $f(b) \in [a, b]$，所以 $f(b) \leq b$，从而 $g(b) = f(b) - b \leq 0$。
公式：g(a) \geq 0, \quad g(b) \leq 0
提示：注意值域条件 $f([a, b]) = [a, b]$ 保证了 $f(a) \geq a$ 和 $f(b) \leq b$，这是后续应用零点定理的关键。
步骤 3/4
目标：分类讨论并应用零点定理
若 $g(a) = 0$ 或 $g(b) = 0$，则 $x_0 = a$ 或 $x_0 = b$ 即为所求的不动点。否则，有 $g(a) > 0$ 且 $g(b) < 0$。由于 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，根据连续函数的介值定理（零点定理），存在 $x_0 \in (a, b)$ 使得 $g(x_0) = 0$，即 $f(x_0) = x_0$。
公式：\exists x_0 \in (a, b), \; g(x_0) = 0 \iff f(x_0) = x_0
提示：零点定理要求函数在区间端点处异号，这里 $g(a) > 0$ 且 $g(b) < 0$ 恰好满足条件。不要忽略 $g(a)=0$ 或 $g(b)=0$ 的平凡情况。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合以上两种情况，无论 $g(a)$ 和 $g(b)$ 是否为零，总存在 $x_0 \in [a, b]$ 使得 $f(x_0) = x_0$。证毕。
公式：\exists x_0 \in [a, b], \; f(x_0) = x_0
提示：该结论是 Brouwer 不动点定理在一维情形的特例，体现了连续函数在闭区间上的重要性质。
步骤 5/5
目标：得出不动点结论
由 $g(x_0)=0$ 得 $f(x_0)-x_0=0$，即 $f(x_0)=x_0$。因此，无论哪种情况，总存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $f(x_0)=x_0$。
公式：f(x_0)=x_0
提示：综合端点为零和零点定理两种情况，确保结论覆盖整个闭区间。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $g(x_0) = 0$ 得 $f(x_0) - x_0 = 0$，即 $f(x_0) = x_0$。因此存在 $x_0 \in [a, b]$ 使得 $f(x_0) = x_0$。
公式：f(x_0) = x_0
提示：这是不动点定理的特例。
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