北京工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
十．计算第二型曲面积分
$$
\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 是立方体 $\displaystyle 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a$ 的表面，外法线为正方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与符号
积分表达式为 \(\iint_{S} x^{2} \, dy\,dz + y^{2} \, dz\,dx + z^{2} \, dx\,dy\)，其中 \(S\) 是立方体 \(0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a\) 的表面，方向取外法线方向。这里 \(dy\,dz\) 对应 \(x\) 方向投影面积元，\(dz\,dx\) 对应 \(y\) 方向，\(dx\,dy\) 对应 \(z\) 方向。由于曲面封闭且被积函数光滑，考虑使用高斯散度定理。
公式：\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
提示：注意第二型曲面积分中，\(dy\,dz\) 前的系数对应向量场的 \(x\) 分量，不要混淆顺序。
步骤 2/5
目标：应用高斯散度定理
设向量场 \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\)，其中 \(P = x^2\)，\(Q = y^2\)，\(R = z^2\)。高斯散度定理给出：
\[
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
\]
计算散度：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 2x + 2y + 2z
\]
公式：\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2y + 2z
提示：高斯定理要求曲面封闭且方向向外，本题满足条件。
步骤 3/5
目标：转化为三重积分
原曲面积分等于三重积分：
\[
\iiint_{V} (2x + 2y + 2z) \, dV
\]
其中 \(V\) 是立方体 \(0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a\)。
公式：\iint_{S} x^{2} dy\,dz + y^{2} dz\,dx + z^{2} dx\,dy = \iiint_{V} (2x+2y+2z) \, dV
提示：三重积分的积分区域是立方体，可直接化为累次积分。
步骤 4/5
目标：计算三重积分
将积分拆分为三部分：
\[
\iiint_V 2x \, dV = 2 \int_0^a x \, dx \int_0^a dy \int_0^a dz = 2 \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a \cdot a = a^4
\]
同理，\(\iiint_V 2y \, dV = a^4\)，\(\iiint_V 2z \, dV = a^4\)。
总和为：
\[
a^4 + a^4 + a^4 = 3a^4
\]
公式：\int_0^a x \, dx = \frac{a^2}{2}, \quad \int_0^a dy = a, \quad \int_0^a dz = a
提示：注意积分限均为常数，可分别计算；不要遗漏因子2。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，原第二型曲面积分的结果为 \(3a^4\)。
公式：\boxed{3a^{4}}
提示：高斯定理避免了分六个面分别计算的繁琐过程，但需确保散度计算正确。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
将三个部分相加：
\[a^{4} + a^{4} + a^{4} = 3a^{4}\]
因此，原曲面积分的值为\(3a^{4}\)。
提示：最终结果是一个数值表达式，不要忘记单位或化简。
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