北京工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
二．用极限定义证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{b}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出已知极限的定义
由 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = b$，根据极限定义：对任意 $\varepsilon_1 > 0$，存在 $X_1 > 0$，使得当 $x < -X_1$ 时，有 $|f(x) - b| < \varepsilon_1$。
公式：$\forall \varepsilon_1 > 0, \exists X_1 > 0, \forall x < -X_1: |f(x)-b| < \varepsilon_1$
提示：注意 $x \to -\infty$ 的定义中，$x$ 小于某个负数，通常用 $x < -X$ 表示。
步骤 2/5
目标：控制分母不为零并给出下界
由于 $b \neq 0$，取 $\varepsilon_1 = \frac{|b|}{2}$，则存在 $X_1 > 0$，当 $x < -X_1$ 时，有 $|f(x)-b| < \frac{|b|}{2}$。由绝对值不等式 $|f(x)| \ge |b| - |f(x)-b| > |b| - \frac{|b|}{2} = \frac{|b|}{2}$，从而 $\frac{1}{|f(x)|} < \frac{2}{|b|}$。
公式：$|f(x)| > \frac{|b|}{2}$，$\frac{1}{|f(x)|} < \frac{2}{|b|}$
提示：这一步的关键是选取合适的 $\varepsilon_1$ 来保证 $f(x)$ 远离0，避免分母为零。
步骤 3/5
目标：变形目标不等式并利用下界估计
要证 $\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| < \varepsilon$。变形得 $\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| = \frac{|b - f(x)|}{|b||f(x)|}$。当 $x < -X_1$ 时，分母 $|b||f(x)| > |b| \cdot \frac{|b|}{2} = \frac{b^2}{2}$，于是 $\frac{|b - f(x)|}{|b||f(x)|} < \frac{|f(x)-b|}{\frac{b^2}{2}} = \frac{2}{|b|^2} |f(x)-b|$。
公式：$\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| < \frac{2}{|b|^2} |f(x)-b|$
提示：注意 $b^2$ 应写为 $|b|^2$ 更严谨，因为 $b$ 可能为负数。
步骤 4/5
目标：选择适当的 $X$ 完成证明
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，令 $\varepsilon_2 = \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$。由已知极限，存在 $X_2 > 0$，当 $x < -X_2$ 时，有 $|f(x)-b| < \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$。取 $X = \max\{X_1, X_2\}$，则当 $x < -X$ 时，既有分母下界估计成立，又有 $|f(x)-b| < \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$，从而 $\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| < \frac{2}{|b|^2} \cdot \frac{|b|^2}{2} \varepsilon = \varepsilon$。
公式：$X = \max\{X_1, X_2\}$，$\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| < \varepsilon$
提示：取 $X$ 为两个 $X$ 的最大值，确保两个条件同时成立。
步骤 5/5
目标：得出结论
由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，当 $x < -X$ 时，有 $\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| < \varepsilon$，因此 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{b}$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{b}$
提示：证明完成，注意极限定义中 $\varepsilon$ 的任意性。
步骤 6/8
目标：再次利用极限条件控制分子
对任意 $\varepsilon > 0$，由 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$，取 $\varepsilon_2 = \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$，则存在 $X_2$，当 $x < X_2$ 时，$|f(x) - b| < \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$。
公式：$|f(x) - b| < \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$ 当 $x < X_2$
提示：这里 $\varepsilon_2$ 的选取是为了最终消去系数 $\frac{2}{|b|^2}$。
步骤 7/8
目标：取公共的 $X$ 并完成证明
取 $X = \min(X_1, X_2)$（注意 $X_1, X_2$ 均为负数，$\min$ 取更小的值，即更靠左），则当 $x < X$ 时，同时满足 $|f(x)| > \frac{|b|}{2}$ 和 $|f(x) - b| < \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$，于是 $\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| < \frac{2}{|b|^2} \cdot \frac{|b|^2}{2} \varepsilon = \varepsilon$。
公式：$\left| \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{b} \right| < \varepsilon$
提示：注意 $\min$ 在负数情形下是取更小的数，确保 $x$ 同时满足两个条件。
步骤 8/8
目标：结论
由极限的 $\varepsilon-X$ 定义，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{b}$ 得证。
公式：$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{b}$
提示：证明中关键步骤是分母下界的估计和 $\varepsilon$ 的适当选取。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。