北京工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
九．计算曲线 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}=\frac{x}{a}-\frac{y}{b}(a>0, b>0)$ 与 $\displaystyle y=0$ 所围成区域 $R$ 的面积．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换简化曲线方程
令 $u = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}$, $v = \frac{x}{a} - \frac{y}{b}$，则原曲线方程 $\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^2 = \frac{x}{a} - \frac{y}{b}$ 化为 $u^2 = v$，这是一条开口向右的抛物线。同时，边界 $y=0$ 代入 $u,v$ 定义得 $u = \frac{x}{a}$, $v = \frac{x}{a}$，即 $v = u$。
公式：u = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}, \quad v = \frac{x}{a} - \frac{y}{b} \quad \Rightarrow \quad u^2 = v
提示：注意代换后要同时处理曲线和边界，不要遗漏 $y=0$ 对应的直线 $v=u$。
步骤 2/4
目标：确定积分区域在 $uv$ 平面中的范围
解方程组 $v = u^2$ 与 $v = u$，得 $u^2 = u \Rightarrow u(u-1)=0$，所以 $u=0$ 或 $u=1$，对应 $v=0$ 和 $v=1$。因此积分区域为：$u$ 从 $0$ 到 $1$，对每个 $u$，$v$ 从抛物线 $v=u^2$ 到直线 $v=u$。
公式：u \in [0,1], \quad v \in [u^2, u]
提示：交点求解要准确，注意 $u$ 的范围由 $u^2 \leq u$ 自然给出。
步骤 3/4
目标：计算雅可比行列式进行面积变换
由 $u = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}$, $v = \frac{x}{a} - \frac{y}{b}$ 反解出 $x = \frac{a}{2}(u+v)$, $y = \frac{b}{2}(u-v)$。雅可比矩阵的行列式为：
\[
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{a}{2} & \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} & -\frac{b}{2} \end{vmatrix} = -\frac{ab}{2}
\]
取绝对值，得 $dx\,dy = \frac{ab}{2}\,du\,dv$。
公式：\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac{ab}{2}
提示：雅可比行列式要取绝对值，且注意反解 $x,y$ 时不要出错。
步骤 4/4
目标：计算区域面积
面积 $S = \iint_R dx\,dy = \frac{ab}{2} \int_{u=0}^{1} \int_{v=u^2}^{u} dv\,du$。先对 $v$ 积分：$\int_{u^2}^{u} dv = u - u^2$。再对 $u$ 积分：
\[
S = \frac{ab}{2} \int_0^1 (u - u^2)\,du = \frac{ab}{2} \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{ab}{2} \left( \frac12 - \frac13 \right) = \frac{ab}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{ab}{12}
\]
公式：S = \frac{ab}{2} \int_0^1 (u - u^2)\,du = \frac{ab}{12}
提示：积分顺序不要搞反，先积 $v$ 再积 $u$，且注意 $u$ 的上下限是常数。
步骤 5/5
目标：计算区域面积
面积 $S = \iint_R dx\,dy = \frac{ab}{2} \int_{u=0}^{1} \int_{v=u^2}^{u} dv\,du$。先对 $v$ 积分：$\int_{u^2}^{u} dv = u - u^2$，再对 $u$ 积分：
$$S = \frac{ab}{2} \int_0^1 (u - u^2)\,du = \frac{ab}{2} \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{ab}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{ab}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{ab}{12}$$
公式：S = \frac{ab}{2} \int_0^1 (u - u^2)\,du = \frac{ab}{12}
提示：积分计算要仔细，尤其是分数加减和乘法。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。