北京工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
七．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定收敛域
首先求收敛半径。系数为 $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$，利用比值审敛法：
$$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n+1)}{1/n} = 1$$
因此收敛半径 $R=1$。再检查端点：
- 当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$，是交错调和级数，收敛。
- 当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{-1}{n}$，发散。
所以收敛域为 $(-1, 1]$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1, \quad R=1$$
提示：注意端点 $x=-1$ 代入后级数变为负的调和级数，发散；$x=1$ 为交错调和级数，收敛。
步骤 2/5
目标：设和函数并逐项求导
记和函数为 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$，在收敛区间 $(-1,1)$ 内逐项求导：
$$S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{n-1}$$
令 $m=n-1$，则 $m$ 从 $0$ 开始：
$$S'(x) = \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m} x^{m}$$
公式：$$S'(x) = \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m} x^{m}$$
提示：逐项求导在收敛区间内部是合法的，注意指数变化。
步骤 3/5
目标：求和导函数为封闭形式
上述级数是公比为 $-x$ 的等比级数，当 $|x|<1$ 时收敛，其和为：
$$S'(x) = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}$$
公式：$$S'(x) = \frac{1}{1+x}, \quad |x|<1$$
提示：等比级数求和公式 $\sum_{m=0}^\infty r^m = \frac{1}{1-r}$，这里 $r=-x$。
步骤 4/5
目标：积分求原函数并确定常数
对 $S'(x)$ 积分得：
$$S(x) = \int \frac{1}{1+x} \, dx = \ln(1+x) + C$$
代入 $x=0$，原级数 $S(0)=0$，而 $\ln(1+0)=0$，所以 $C=0$。因此 $S(x) = \ln(1+x)$ 在 $(-1,1)$ 内成立。
公式：$$S(x) = \ln(1+x), \quad |x|<1$$
提示：常数 $C$ 通过 $S(0)=0$ 确定，注意 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处值为0。
步骤 5/5
目标：验证端点并给出最终和函数
在 $x=1$ 处，级数收敛，且 $\ln(1+x)$ 在 $x=1$ 处连续，因此和函数可延拓至端点：
$$S(1) = \ln 2$$
这与交错调和级数的和一致。故和函数为：
$$S(x) = \ln(1+x), \quad x \in (-1, 1]$$
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n} = \ln(1+x), \quad x \in (-1, 1]$$
提示：端点 $x=1$ 需单独验证，利用和函数的连续性。
步骤 6/6
目标：总结和函数表达式
综上所述，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数为 $S(x)=\ln(1+x)$，收敛域为 $(-1,1]$。
提示：最终答案要明确写出收敛域。
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