北京工业大学 2020年数学分析第0题

对函数 $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 1$ 求导，得 $f'(x) = -6x^2 + 6x + 12$。令 $f'(x) = 0$，即 $-6x^2 + 6x + 12 = 0$，两边除以 $-6$ 得 $x^2 - x - 2 = 0$，因式分解为 $(x-2)(x+1)=0$，解得临界点 $x = 2$ 和 $x = -1$，这两个点均在区间 $[-2, 3]$ 内。

分别计算 $x = -2, -1, 2, 3$ 处的函数值： - $f(-2) = -2(-8) + 3(4) + 12(-2) - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3$ - $f(-1) = -2(-1) + 3(1) + 12(-1) - 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = -8$ - $f(2) = -2(8) + 3(4) + 12(2) - 1 = -16 + 12 + 24 - 1 = 19$ - $f(3) = -2(27) + 3(9) + 12(3) - 1 = -54 + 27 + 36 - 1 = 8$

比较得到的函数值：$3, -8, 19, 8$。其中最大值为 $19$，在 $x=2$ 处取得；最小值为 $-8$，在 $x=-1$ 处取得。

定义函数 $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt - \int_x^b f(t)\, dt$。利用积分性质，将第二个积分改写为 $\int_x^b f(t)\, dt = \int_a^b f(t)\, dt - \int_a^x f(t)\, dt$，代入得 $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt - \left( \int_a^b f(t)\, dt - \int_a^x f(t)\, dt \right) = 2\int_a^x f(t)\, dt - \int_a^b f(t)\, dt$。由于 $f$ 可积，变上限积分 $\int_a^x f(t)\, dt$ 连续，故 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

计算端点值：$F(a) = 2\int_a^a f(t)\, dt - \int_a^b f(t)\, dt = -\int_a^b f(t)\, dt$，$F(b) = 2\int_a^b f(t)\, dt - \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^b f(t)\, dt$。 - 若 $\int_a^b f(t)\, dt = 0$，则 $F(a)=F(b)=0$，可取 $c=a$ 或 $c=b$，结论成立。 - 若 $\int_a^b f(t)\, dt \neq 0$，则 $F(a)$ 与 $F(b)$ 异号（一正一负）。由连续函数的介值定理，存在 $c \in (a,b)$ 使得 $F(c)=0$，即 $2\int_a^c f(t)\, dt - \int_a^b f(t)\, dt = 0$，整理得 $\int_a^c f(t)\, dt = \frac{1}{2}\int_a^b f(t)\, dt$。

由 $\int_a^c f(t)\, dt = \frac{1}{2}\int_a^b f(t)\, dt$，可得 $\int_c^b f(t)\, dt = \int_a^b f(t)\, dt - \int_a^c f(t)\, dt = \int_a^c f(t)\, dt$，因此 $\int_a^c f(t)\, dt = \int_c^b f(t)\, dt$，即存在 $c \in [a,b]$ 使得等式成立。