北京工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一、用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明闭区间上的连续函数可以达到最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明函数在闭区间上有上界
假设 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上无上界，则对每个正整数 \( n \)，存在 \( x_n \in [a, b] \)，使得 \( f(x_n) > n \)。数列 \(\{x_n\}\) 有界，由致密性定理，存在收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\)，设其极限为 \( x_0 \in [a, b] \)。由 \( f \) 的连续性，\( \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) \)，但 \( f(x_{n_k}) > n_k \to +\infty \)，矛盾。故 \( f \) 在 \([a, b]\) 上有上界。
公式：\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0), \quad f(x_{n_k}) > n_k \to +\infty
提示：注意反证法的假设，以及闭区间保证极限点仍在区间内。
步骤 2/5
目标：定义上确界并构造逼近数列
设 \( M = \sup_{x \in [a, b]} f(x) \)，由第一步知 \( M \) 为有限实数。由上确界定义，对每个正整数 \( n \)，存在 \( x_n \in [a, b] \)，使得 \( M - \frac{1}{n} < f(x_n) \le M \)。数列 \(\{x_n\}\) 有界。
公式：M - \frac{1}{n} < f(x_n) \le M
提示：上确界定义中的不等式是构造数列的关键，确保函数值趋近于 \( M \)。
步骤 3/5
目标：应用致密性定理得到收敛子列
由致密性定理，有界数列 \(\{x_n\}\) 存在收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\)，设其极限为 \( x_0 \in [a, b] \)。
公式：\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0, \quad x_0 \in [a, b]
提示：闭区间保证极限点 \( x_0 \) 仍在区间内。
步骤 4/5
目标：利用连续性证明上确界可达
由 \( f \) 在 \( x_0 \) 处连续，得 \( \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) \)。又由构造有 \( M - \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k}) \le M \)，两边取极限，由夹逼定理得 \( \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = M \)。因此 \( f(x_0) = M \)，即最大值在 \( x_0 \) 处达到。
公式：\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) = M
提示：夹逼定理用于确定极限值，连续性保证极限与函数值相等。
步骤 5/5
目标：结论
闭区间 \([a, b]\) 上的连续函数 \( f \) 必能取到最大值。同理可证最小值（考虑 \( -f \)）。
公式：\exists x_0 \in [a, b], \forall x \in [a, b], f(x) \le f(x_0)
提示：最小值证明类似，或对 \( -f \) 应用最大值结论。
步骤 6/6
目标：结论
闭区间上的连续函数一定能取到最大值。同理可证最小值（考虑 \( -f(x) \) 或类似方法）。
提示：证明最小值时，只需将 \( f \) 替换为 \( -f \)，最大值即为原函数的最小值。
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