📝 北京工业大学 2024年数学分析真题

一、用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明闭区间上的连续函数可以达到最大值．

七、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \cos \left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle p>1$ 时绝对收敛，
在 $\displaystyle 0<p \leq 1$ 时条件收敛。

三、计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$从 $\displaystyle (2,0)$ 逆时针到 $\displaystyle (-2,0)$ 的一段曲线．

九、计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1-x} \sqrt{y^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} y$ ．

二、设二元函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=e^{z}$ 确定的隐函数，求二阶混合偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

五、已知函数 $\displaystyle f(x, u)$ 在区域

$$
D=\{(x, y): a \leq x<+\infty, \alpha \leq u \leq \beta\}
$$

中连续，且积分 $\displaystyle \varphi(u)=\int_{a}^{+\infty} f(x, u) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上一致收敛，
证明：$\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上连续．

八、计算曲线积分

$$
I=\oint_{C}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$

其中 $C$ 为圆周：$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ ，从原点看去取顺时针方向．

六、计算积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin (a x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．

十、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续导函数，且

$$
d_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) .
$$

证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n d_{n}=\frac{f(1)-f(0)}{2}$ ．

四、应用定积分求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k} \sin \left(\frac{k}{n}\right)$ ．