北京工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二、设二元函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=e^{z}$ 确定的隐函数，求二阶混合偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：方程两边对x求偏导，得到∂z/∂x的表达式
原方程：
\[
x + y + z = e^{z}
\]
两边对x求偏导（y视为常数）：
\[
1 + 0 + \frac{\partial z}{\partial x} = e^{z} \frac{\partial z}{\partial x}
\]
移项：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} - e^{z} \frac{\partial z}{\partial x} = -1
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x}(1 - e^{z}) = -1
\]
解得：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-1}{1 - e^{z}} = \frac{1}{e^{z} - 1}
\]
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^{z} - 1}
提示：注意z是x和y的函数，对x求偏导时z要视为中间变量，使用链式法则。
步骤 2/4
目标：方程两边对y求偏导，得到∂z/∂y的表达式
原方程：
\[
x + y + z = e^{z}
\]
两边对y求偏导（x视为常数）：
\[
0 + 1 + \frac{\partial z}{\partial y} = e^{z} \frac{\partial z}{\partial y}
\]
移项：
\[
\frac{\partial z}{\partial y} - e^{z} \frac{\partial z}{\partial y} = -1
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y}(1 - e^{z}) = -1
\]
解得：
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^{z} - 1}
\]
公式：\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^{z} - 1}
提示：与对x求偏导类似，注意对称性，结果形式相同。
步骤 3/4
目标：对∂z/∂x再对y求偏导，得到二阶混合偏导
由第一步结果：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^{z} - 1}
\]
两边对y求偏导（使用链式法则）：
\[
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{e^{z} - 1} \right) = - \frac{1}{(e^{z} - 1)^{2}} \cdot e^{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}
\]
公式：\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{2}} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}
提示：对复合函数求导时，注意外层函数是(u)^{-1}，内层u=e^z-1，导数要逐层计算。
步骤 4/4
目标：代入∂z/∂y并化简结果
将第二步得到的∂z/∂y = 1/(e^z - 1)代入：
\[
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{2}} \cdot \frac{1}{e^{z} - 1} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}}
\]
公式：\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}}
提示：最终结果中z仍为隐函数，无需进一步代换，除非题目要求用x,y表示。
步骤 5/5
目标：代入 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 并化简
将 $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^{z} - 1}$ 代入上式：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^2} \cdot \frac{1}{e^{z} - 1} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^3}$
公式：\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^3}
提示：化简时注意指数运算，分母合并为三次方。
步骤 6/6
目标：代入∂z/∂y并化简
将 $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^z - 1}$ 代入上式，得 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^z}{(e^z - 1)^2} \cdot \frac{1}{e^z - 1} = -\frac{e^z}{(e^z - 1)^3}$。
提示：注意指数运算，分母是 $(e^z - 1)^3$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。