北京工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \cos \left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle p>1$ 时绝对收敛，
在 $\displaystyle 0<p \leq 1$ 时条件收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的绝对值，证明p>1时绝对收敛
由于 $|\cos(1/x)| \leq 1$，有 $\left|\frac{\sin x}{x^p} \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq \frac{|\sin x|}{x^p} \leq \frac{1}{x^p}$。当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 收敛，由比较判别法知原积分绝对收敛。
公式：$\left|\frac{\sin x}{x^p} \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq \frac{1}{x^p}$
提示：注意绝对值放缩时不要忽略余弦函数的有界性，但这里直接放缩到1/x^p即可。
步骤 2/5
目标：讨论0
当 $x$ 充分大时，$\cos(1/x) \to 1$ 且单调，因此 $\int_1^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x^p} \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| dx$ 与 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^p} dx$ 同敛散。而 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^p} dx$ 在 $0
公式：$\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^p} dx$ 发散当 $0
提示：不要直接由1/x^p发散推出绝对值发散，需考虑正弦函数的振荡性，用分段估计。
步骤 3/5
目标：将原积分拆分为两个部分，简化收敛性分析
将 $f(x)=\frac{\sin x}{x^p}\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ 写为 $f(x)=\frac{\sin x}{x^p} + \frac{\sin x}{x^p}\left(\cos\frac{1}{x}-1\right)$。由于 $\cos(1/x)-1 = O(1/x^2)$，第二项绝对值 $\leq C/x^{p+2}$，而 $p+2>1$，故第二项的积分绝对收敛。因此原积分收敛性等价于 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$ 的收敛性。
公式：$\cos\frac{1}{x}-1 = -\frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)$
提示：注意泰勒展开的余项控制，确保第二项积分绝对收敛。
步骤 4/5
目标：应用Dirichlet判别法证明积分收敛
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$。当 $p>0$ 时，$1/x^p$ 单调递减趋于0；$\int_1^A \sin x dx = \cos 1 - \cos A$ 有界（绝对值不超过2）。由Dirichlet判别法，该积分收敛。因此原积分收敛，结合第二步知其为条件收敛。
公式：Dirichlet判别法：$\int_a^\infty f(x)g(x)dx$ 收敛，若 $\int_a^A f(x)dx$ 有界，$g(x)$ 单调趋于0
提示：注意验证单调性：$1/x^p$ 在 $[1,\infty)$ 上单调递减且趋于0。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上讨论：当 $p>1$ 时，积分绝对收敛；当 $0
提示：条件收敛需同时验证收敛性和非绝对收敛性。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，当 $p>1$ 时，原积分绝对收敛；当 $0
提示：注意 $p=0$ 时积分发散，题目范围 $p>0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。