北京工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六、计算积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin (a x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入含参积分并求导
记 $I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin (\alpha x)}{x} \mathrm{~d} x$，对参数 $\alpha$ 求导，在积分号下求导（由指数衰减保证一致收敛性），得：
$$I'(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \cdot x \cos(\alpha x)}{x} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \cos(\alpha x) \mathrm{~d} x.$$
公式：$$I'(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \cos(\alpha x) \mathrm{~d} x$$
提示：注意求导时 $\frac{\partial}{\partial \alpha} \sin(\alpha x)=x\cos(\alpha x)$，分子分母的 $x$ 恰好约去。
步骤 2/5
目标：计算导函数积分
计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \cos(\alpha x) \mathrm{~d} x$，这是 Laplace 变换的标准形式。利用公式 $\int_{0}^{+\infty} e^{-sx} \cos(bx) \mathrm{~d} x = \frac{s}{s^2+b^2}$（$\operatorname{Re}(s)>0$），取 $s=1$，$b=\alpha$，得：
$$I'(\alpha)=\frac{1}{1+\alpha^2}.$$
公式：$$\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \cos(\alpha x) \mathrm{~d} x = \frac{1}{1+\alpha^2}$$
提示：可分部积分或利用复数指数 $e^{-x}\cos(\alpha x)=\operatorname{Re}(e^{-(1-i\alpha)x})$ 快速求解。
步骤 3/5
目标：积分恢复原函数
对 $I'(\alpha)=\frac{1}{1+\alpha^2}$ 关于 $\alpha$ 积分，得：
$$I(\alpha)=\int \frac{1}{1+\alpha^2} \mathrm{~d}\alpha = \arctan(\alpha) + C,$$
其中 $C$ 为待定常数。
公式：$$I(\alpha)=\arctan(\alpha)+C$$
提示：积分时注意 $\arctan(\alpha)$ 的主值区间为 $(-\pi/2,\pi/2)$，此处 $\alpha$ 为实数。
步骤 4/5
目标：确定常数
令 $\alpha=0$，代入原积分：
$$I(0)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \cdot 0}{x} \mathrm{~d}x = 0.$$
由表达式 $I(0)=\arctan(0)+C = 0+C$，得 $C=0$。
公式：$$I(0)=0 \Rightarrow C=0$$
提示：$\alpha=0$ 时被积函数恒为 $0$，积分值为 $0$，这是确定常数的关键。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，对于任意实数 $\alpha$，有：
$$I(\alpha)=\arctan(\alpha).$$
公式：$$\boxed{\arctan \alpha}$$
提示：结果简洁，验证时可取特殊值如 $\alpha=1$，$I(1)=\pi/4$，与已知积分 $\int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin x}{x}dx=\pi/4$ 一致。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此原积分结果为：
$$I(\alpha) = \arctan(\alpha)$$
即
$$\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin(\alpha x)}{x} \, dx = \arctan(\alpha)$$
公式：$\boxed{\arctan \alpha}$
提示：结果简洁，与常见含参积分结论一致。
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