北京工业大学 2024年数学分析第0题

已知 $f(x,u)$ 在区域 $D=\{(x,u): a \le x < +\infty, \alpha \le u \le \beta\}$ 上连续，且含参变量积分 $\varphi(u)=\int_a^{+\infty} f(x,u)\,dx$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上一致收敛。需要证明 $\varphi(u)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续。

由一致收敛的定义，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $X_0 > a$（与 $u$ 无关），使得对所有 $u \in [\alpha,\beta]$ 和所有 $X > X_0$，都有 $\left| \int_X^{+\infty} f(x,u)\,dx \right| < \frac{\varepsilon}{3}$。于是将积分写为 $\varphi(u) = \int_a^{X} f(x,u)\,dx + \int_X^{+\infty} f(x,u)\,dx$，其中后一项的绝对值可任意小。

取定一个 $X > X_0$，考虑有限区间上的积分 $F(u) = \int_a^{X} f(x,u)\,dx$。由于 $f(x,u)$ 在闭区域 $[a,X] \times [\alpha,\beta]$ 上连续，从而一致连续，因此 $F(u)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续（含参变量有限区间积分的基本性质）。于是对任意 $u_0 \in [\alpha,\beta]$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|u - u_0| < \delta$ 时，有 $|F(u) - F(u_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$。

对于满足 $|u - u_0| < \delta$ 的任意 $u$，有 \[ \begin{aligned} |\varphi(u) - \varphi(u_0)| &\le \left| \int_a^{X} f(x,u)\,dx - \int_a^{X} f(x,u_0)\,dx \right| \\ &\quad + \left| \int_X^{+\infty} f(x,u)\,dx \right| + \left| \int_X^{+\infty} f(x,u_0)\,dx \right| \\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \end{aligned} \] 这说明 $\varphi(u)$ 在 $u_0$ 处连续。由 $u_0$ 的任意性，$\varphi(u)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续。

因此，$\varphi(u)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续。