北京工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三、计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$从 $\displaystyle (2,0)$ 逆时针到 $\displaystyle (-2,0)$ 的一段曲线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数与路径特点
被积函数为 $\frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2}$，分母在原点处为零，因此原点是被积函数的奇点。路径 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 从点 $(2,0)$ 逆时针到 $(-2,0)$ 的一段弧。由于逆时针方向，路径取椭圆的上半部分。
提示：注意路径方向与奇点位置，原点在椭圆内部，不能直接应用与路径无关性。
步骤 2/5
目标：检查向量场是否与路径无关
令 $P = \frac{y}{x^2+y^2}$，$Q = -\frac{x}{x^2+y^2}$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(x^2+y^2) - y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$，
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{-(x^2+y^2) + x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$。
两者相等，因此在任何不包含原点的单连通区域内积分与路径无关。但椭圆包围原点，故不能直接取其他路径。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$
提示：偏导相等仅保证在无奇点区域路径无关，此处原点为奇点，需谨慎。
步骤 3/5
目标：利用闭合路径与已知积分结果
考虑补上椭圆的下半部分 $L_2$（从 $(-2,0)$ 沿椭圆下半部分逆时针回到 $(2,0)$），则 $L \cup L_2$ 构成逆时针绕原点一周的椭圆闭路。已知对于绕原点的逆时针闭路，有 $\oint \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2} = -2\pi$（可通过圆的参数化验证）。因此 $\int_L + \int_{L_2} = -2\pi$。
公式：$\oint_{\text{逆时针}} \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2} = -2\pi$
提示：验证时用圆参数化：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，得被积式为 $-d\theta$。
步骤 4/5
目标：参数化椭圆并计算上下半部分的积分
将椭圆参数化：$x=2\cos t, y=3\sin t$，$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 对应逆时针一周。则 $dx=-2\sin t\,dt$，$dy=3\cos t\,dt$，代入得 $y\,dx - x\,dy = 3\sin t\cdot(-2\sin t\,dt) - 2\cos t\cdot(3\cos t\,dt) = -6\,dt$。分母 $x^2+y^2 = 4\cos^2 t + 9\sin^2 t$。因此整个椭圆积分为 $\int_0^{2\pi} \frac{-6}{4\cos^2 t + 9\sin^2 t}\,dt = -2\pi$。由于被积函数关于 $t$ 的周期为 $\pi$ 且对称，上半部分 $t\in[0,\pi]$ 与下半部分 $t\in[\pi,2\pi]$ 的积分相等，各为 $-\pi$。而 $L$ 对应上半部分，故 $\int_L = -\pi$。
公式：$\int_L \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2} = \int_0^\pi \frac{-6}{4\cos^2 t + 9\sin^2 t}\,dt = -\pi$
提示：注意参数化方向与路径方向一致，且上下半部分积分相等是因为分母和分子在 $t$ 和 $t+\pi$ 时相同。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
由上述推导，曲线积分 $I = \int_L \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2} = -\pi$。
公式：$I = -\pi$
提示：最终答案需注意符号，与路径方向有关。
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