北京工业大学 2024年数学分析第0题

曲线由球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=1$ 相交得到。球心在原点，半径为 $1$。原点到平面的距离为 $d = \frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。因此截面圆的半径为 $R = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$。圆心为球心在平面上的投影，即 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$。方向：从原点看去取顺时针方向。原点在平面负侧（代入 $x=y=z=0$ 得 $-1<0$），因此视线方向从负侧看向正侧。

令 $\mathbf{F} = (P,Q,R) = (y^2 - z^2,\; z^2 - x^2,\; x^2 - y^2)$。斯托克斯公式：$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS$。计算旋度： $$ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 - z^2 & z^2 - x^2 & x^2 - y^2 \end{vmatrix} = (-2y-2z,\; -2z-2x,\; -2x-2y) = -2(y+z,\; z+x,\; x+y). $$

选取平面 $x+y+z=1$ 上的圆盘 $S$ 作为曲面。平面法向量为 $(1,1,1)$，单位法向量有两个：$\mathbf{n}_1 = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$（指向平面正侧），$\mathbf{n}_2 = -\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$（指向平面负侧）。原点在平面负侧，从原点看曲线顺时针，按右手法则，拇指应指向原点（即平面负侧），因此取 $\mathbf{n} = -\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$。

计算被积函数： $$ (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = -2(y+z,\; z+x,\; x+y) \cdot \left(-\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}[(y+z)+(z+x)+(x+y)] = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 2(x+y+z). $$ 在曲面 $S$ 上，$x+y+z=1$，所以 $(\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{4}{\sqrt{3}}$，为常数。圆盘面积 $A = \pi R^2 = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$。因此曲面积分为： $$ \iint_S (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3\sqrt{3}}. $$

由斯托克斯公式，曲线积分等于该曲面积分，因此 $$ I = \frac{8\pi}{3\sqrt{3}}. $$ 可有理化分母：$\frac{8\pi\sqrt{3}}{9}$，但通常保留原形式。

代入面积得 $$ I = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}\pi}{9}. $$ 方向验证：法向量指向原点时，右手法则四指方向为顺时针，与题目要求一致，符号正确。

代入得 $$ I = -\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3\sqrt{3}} = -\frac{8\sqrt{3}\pi}{9} $$ 注意：由于我们取上侧法向量，根据右手定则，曲线方向为从上方看的逆时针方向。而从原点（在平面下方）看，该方向恰好是顺时针，因此结果即为题目所求。