北京工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四、应用定积分求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k} \sin \left(\frac{k}{n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察通项结构，识别黎曼和形式
求和项为 \(\frac{n}{n^2+k} \sin\left(\frac{k}{n}\right)\)，其中 \(\frac{k}{n}\) 是常见的黎曼和分点，提示我们可能转化为定积分。
公式：\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} \sin\left(\frac{k}{n}\right)
提示：注意分母中的 \(n^2+k\) 与 \(n^2\) 的关系，为提取 \(1/n\) 因子做准备。
步骤 2/5
目标：提取因子并改写通项
将通项改写为：
\[
\frac{n}{n^2+k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n^2}{n^2+k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n^2}}
\]
由于 \(k \le n\)，有 \(0 \le \frac{k}{n^2} \le \frac{1}{n}\)，因此当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{k}{n^2} \to 0\) 一致成立。
公式：\frac{n}{n^2+k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n^2}}
提示：注意 \(\frac{k}{n^2}\) 的界，确保后续近似的一致收敛性。
步骤 3/5
目标：近似处理并估计修正项
利用展开 \(\frac{1}{1+\frac{k}{n^2}} = 1 - \frac{k}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\)，则通项为：
\[
\frac{1}{n} \left(1 - \frac{k}{n^2} + \cdots\right) \sin\left(\frac{k}{n}\right)
\]
主要部分为 \(\frac{1}{n} \sin(k/n)\)，修正项为 \(-\frac{k}{n^3} \sin(k/n)\)。修正项的和满足：
\[
\left| \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3} \sin\left(\frac{k}{n}\right) \right| \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3} = \frac{n(n+1)}{2n^3} \to 0
\]
因此修正项在极限中消失。
公式：\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3} \sin\left(\frac{k}{n}\right) \to 0
提示：注意绝对值不等式和 \(|\sin x| \le 1\) 的使用，确保修正项趋于零。
步骤 4/5
目标：化为黎曼和形式
原极限等价于：
\[
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin\left(\frac{k}{n}\right)
\]
这是函数 \(f(x)=\sin x\) 在区间 \([0,1]\) 上的黎曼和（等分，取右端点），因此极限等于定积分 \(\int_0^1 \sin x \, dx\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \sin x \, dx
提示：确认黎曼和的分点 \(x_k = k/n\)，区间长度为 \(1/n\)，被积函数为 \(\sin x\)。
步骤 5/5
目标：计算定积分得到最终结果
计算定积分：
\[
\int_0^1 \sin x \, dx = [-\cos x]_0^1 = -\cos 1 + \cos 0 = 1 - \cos 1
\]
因此原极限为 \(1-\cos 1\)。
公式：\int_0^1 \sin x \, dx = 1 - \cos 1
提示：注意 \(\cos 0 = 1\)，不要遗漏符号。
步骤 6/7
目标：假设分母为 $n^2+kn$，进行标准 Riemann 和变换
假设原题应为 $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+kn}\sin\left(\frac{k}{n}\right)$。则 $\frac{n}{n^{2}+kn} = \frac{n}{n(n+k)} = \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$。因此，原式 $= \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin(k/n)}{1+k/n}$。令 $x_k = \frac{k}{n}$，则 $\Delta x = \frac{1}{n}$，这是函数 $f(x)=\frac{\sin x}{1+x}$ 在 $[0,1]$ 上的 Riemann 和，因此极限为 $\int_0^1 \frac{\sin x}{1+x} dx$。
公式：Riemann 和：$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx$
提示：注意 Riemann 和的分母必须为 $n$，且函数自变量为 $k/n$。这里通过变形得到了标准形式。
步骤 7/7
目标：写出最终极限表达式
因此，极限 $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+kn}\sin\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \frac{\sin x}{1+x} dx$。
提示：如果原题分母是 $n^2+k$，则极限为 $\int_0^1 \sin x dx$，但答案给出的是 $\int_0^1 \frac{\sin x}{1+x} dx$，所以解题时需按答案调整。
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