北京工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
十、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续导函数，且
$$
d_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) .
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n d_{n}=\frac{f(1)-f(0)}{2}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续导函数，即 $f'(x)$ 连续。定义 $d_n = \int_0^1 f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k-1}{n} \right)$。需要证明 $\lim_{n \to +\infty} n d_n = \frac{f(1)-f(0)}{2}$。
公式：d_n = \int_0^1 f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k-1}{n} \right)
提示：注意求和是取左端点的黎曼和，每个子区间长度为 $1/n$。
步骤 2/6
目标：将 $d_n$ 改写为积分形式
将积分拆分为 $n$ 个子区间上的积分之和：$d_n = \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k-1}{n} \right)$。在每个子区间上，将常数项 $f\left( \frac{k-1}{n} \right)$ 也写成积分形式：$\frac{1}{n} f\left( \frac{k-1}{n} \right) = \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f\left( \frac{k-1}{n} \right) dx$。因此 $d_n = \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left[ f(x) - f\left( \frac{k-1}{n} \right) \right] dx$。
公式：d_n = \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left[ f(x) - f\left( \frac{k-1}{n} \right) \right] dx
提示：这一步将离散求和与积分统一起来，便于后续使用微分中值定理。
步骤 3/6
目标：利用泰勒展开（带积分余项）近似每个子区间上的积分
对每个 $k$，在子区间 $\left[ \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right]$ 上，将 $f(x)$ 在左端点 $\frac{k-1}{n}$ 处展开到一阶：$f(x) = f\left( \frac{k-1}{n} \right) + f'\left( \frac{k-1}{n} \right) \left( x - \frac{k-1}{n} \right) + \int_{\frac{k-1}{n}}^{x} \left[ f'(t) - f'\left( \frac{k-1}{n} \right) \right] dt$。代入 $d_n$ 表达式得：$d_n = \sum_{k=1}^n \left[ f'\left( \frac{k-1}{n} \right) \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left( x - \frac{k-1}{n} \right) dx + R_k \right]$，其中 $R_k = \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \int_{\frac{k-1}{n}}^{x} \left[ f'(t) - f'\left( \frac{k-1}{n} \right) \right] dt \, dx$。计算积分：$\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left( x - \frac{k-1}{n} \right) dx = \frac{1}{2n^2}$。
公式：f(x) = f\left( \frac{k-1}{n} \right) + f'\left( \frac{k-1}{n} \right) \left( x - \frac{k-1}{n} \right) + \int_{\frac{k-1}{n}}^{x} \left[ f'(t) - f'\left( \frac{k-1}{n} \right) \right] dt
提示：使用带积分余项的泰勒展开比拉格朗日中值定理更容易控制误差。
步骤 4/6
目标：估计余项 $R_k$ 的大小
由于 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，因此一致连续。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，对任意 $k$ 和任意 $t \in \left[ \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right]$，有 $|f'(t) - f'(\frac{k-1}{n})| < \varepsilon$。于是 $|R_k| \le \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \int_{\frac{k-1}{n}}^{x} \varepsilon \, dt \, dx = \varepsilon \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left( x - \frac{k-1}{n} \right) dx = \frac{\varepsilon}{2n^2}$。对所有 $k$ 求和得 $\sum_{k=1}^n |R_k| \le n \cdot \frac{\varepsilon}{2n^2} = \frac{\varepsilon}{2n}$。因此 $n \sum_{k=1}^n |R_k| \le \frac{\varepsilon}{2}$，当 $n \to \infty$ 时趋于 $0$。
公式：|R_k| \le \frac{\varepsilon}{2n^2}, \quad \sum_{k=1}^n |R_k| \le \frac{\varepsilon}{2n}
提示：一致连续性保证了误差可以任意小，这是证明的关键。
步骤 5/6
目标：计算主项并取极限
主项为 $\sum_{k=1}^n f'\left( \frac{k-1}{n} \right) \cdot \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f'\left( \frac{k-1}{n} \right)$。因此 $n d_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f'\left( \frac{k-1}{n} \right) + n \cdot (\text{余项})$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f'\left( \frac{k-1}{n} \right)$ 是 $f'$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，极限为 $\int_0^1 f'(x) dx = f(1) - f(0)$。而 $n$ 乘以余项趋于 $0$，故 $\lim_{n \to \infty} n d_n = \frac{1}{2} (f(1) - f(0))$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f'\left( \frac{k-1}{n} \right) = \int_0^1 f'(x) dx = f(1) - f(0)
提示：注意黎曼和的极限是定积分，这里利用了 $f'$ 的连续性。
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上步骤，我们证明了 $\lim_{n \to +\infty} n d_n = \frac{f(1)-f(0)}{2}$。
公式：\boxed{\frac{f(1)-f(0)}{2}}
提示：最终结果与题目要求一致，证明完成。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。