北京工业大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10、（15 分）记作 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}, t>0} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
若 $f$ 可微，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将三重积分转化为球坐标形式
在球坐标系下，令 $x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$，体积元为 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。积分区域 $x^2+y^2+z^2 \leq t^2$ 对应 $0 \leq r \leq t$, $0 \leq \theta \leq \pi$, $0 \leq \phi \leq 2\pi$。被积函数 $f(x^2+y^2+z^2) = f(r^2)$。因此
公式：$F(t) = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{t} f(r^2)\, r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$
提示：注意球坐标中 $r$ 的范围是从0到 $t$，角度范围要准确，避免遗漏 $\sin\theta$ 因子。
步骤 2/3
目标：分离角度积分并计算角度部分
由于被积函数与角度 $\theta$、$\phi$ 无关，角度积分可以单独计算：$\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi$，$\int_{0}^{\pi} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 2$。两者乘积为 $4\pi$。
公式：$F(t) = 4\pi \int_{0}^{t} f(r^2)\, r^2 \, \mathrm{d}r$
提示：角度积分结果 $4\pi$ 是球面积分常数，常见于径向对称问题。
步骤 3/3
目标：对 t 求导，应用微积分基本定理
$F(t)$ 是上限为 $t$ 的积分函数，被积函数 $g(r)=4\pi f(r^2) r^2$ 连续（因为 $f$ 可微），由微积分基本定理，$F'(t) = g(t) = 4\pi f(t^2) t^2$。
公式：$F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$
提示：注意求导时只代入上限 $t$，不要忘记 $r^2$ 因子中的 $r$ 被替换为 $t$。
步骤 4/4
目标：写出最终答案
因此，所求导数为 $F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$。
公式：$\boxed{F'(t)=4\pi t^{2} f(t^{2})}$
提示：最终结果简洁，注意不要遗漏 $t^2$ 因子。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
因此，$F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$。
提示：最终答案应写为 $\boxed{4\pi t^{2} f(t^{2})}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。