北京工业大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有连续三阶导数，且 $\displaystyle f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle (-1,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：在 \(x=0\) 处写出带拉格朗日余项的泰勒公式
由于 \(f(x)\) 在 \([-1,1]\) 上具有连续三阶导数，且 \(f'(0)=0\)，对任意 \(x \in [-1,1]\)，存在介于 \(0\) 与 \(x\) 之间的 \(\theta\)，使得\n\\[\nf(x) = f(0) + f'(0)x + \\frac{f''(0)}{2!}x^2 + \\frac{f'''(\\theta)}{3!}x^3\n\\]\n代入 \(f'(0)=0\)，得\n\\[\nf(x) = f(0) + \\frac{f''(0)}{2}x^2 + \\frac{f'''(\\theta)}{6}x^3\n\\]
公式：f(x) = f(0) + \\frac{f''(0)}{2}x^2 + \\frac{f'''(\\theta)}{6}x^3
提示：注意拉格朗日余项中的 \(\\theta\) 依赖于 \(x\)，且介于 0 与 \(x\) 之间。
步骤 2/4
目标：代入端点 \(x=1\) 和 \(x=-1\) 得到两个方程
当 \(x=1\) 时，存在 \(\\theta_1 \\in (0,1)\) 使得\n\\[\nf(1) = f(0) + \\frac{f''(0)}{2} + \\frac{f'''(\\theta_1)}{6} = 1\n\\]\n当 \(x=-1\) 时，存在 \(\\theta_2 \\in (-1,0)\) 使得\n\\[\nf(-1) = f(0) + \\frac{f''(0)}{2} - \\frac{f'''(\\theta_2)}{6} = 0\n\\]\n注意：因为 \(x=-1\)，\(x^3 = -1\)，所以余项为负。
公式：f(1) = f(0) + \\frac{f''(0)}{2} + \\frac{f'''(\\theta_1)}{6} = 1, \\quad f(-1) = f(0) + \\frac{f''(0)}{2} - \\frac{f'''(\\theta_2)}{6} = 0
提示：注意 \(x=-1\) 时三次方为负，符号不要搞错。
步骤 3/4
目标：两式相减消去 \(f(0)\) 和 \(f''(0)\)
将第一式减去第二式：\n\\[\n\\left[ f(0) + \\frac{f''(0)}{2} + \\frac{f'''(\\theta_1)}{6} \\right] - \\left[ f(0) + \\frac{f''(0)}{2} - \\frac{f'''(\\theta_2)}{6} \\right] = 1 - 0\n\\]\n化简得：\n\\[\n\\frac{f'''(\\theta_1)}{6} + \\frac{f'''(\\theta_2)}{6} = 1\n\\]\n即\n\\[\nf'''(\\theta_1) + f'''(\\theta_2) = 6\n\\]
公式：f'''(\\theta_1) + f'''(\\theta_2) = 6
提示：相减时注意符号，避免漏项。
步骤 4/4
目标：利用介值定理证明存在 \(\\xi\) 使得 \(f'''(\\xi)=3\)
由于 \(f'''(x)\) 在 \([-1,1]\) 上连续，特别地在区间 \([\\theta_2, \\theta_1]\) 上连续（注意 \(\\theta_2 < 0 < \\theta_1\)）。由 \(f'''(\\theta_1) + f'''(\\theta_2) = 6\) 可知，\(f'''(\\theta_1)\) 和 \(f'''(\\theta_2)\) 不可能同时大于3或同时小于3（否则和会大于6或小于6），因此必有一个大于等于3，另一个小于等于3。由连续函数的介值定理，存在 \(\\xi \\in (\\theta_2, \\theta_1) \\subset (-1,1)\)，使得\n\\[\nf'''(\\xi) = 3\n\\]
公式：\\exists \\xi \\in (-1,1), \\; f'''(\\xi) = 3
提示：介值定理要求函数连续，这里三阶导数连续的条件正好满足。注意区间端点的大小关系。
步骤 5/6
目标：对 $g''(x)$ 应用罗尔定理得到 $g'''(x)$ 的零点
由于 $g''(y_1)=0$ 且 $g''(y_2)=0$，且 $y_1 < y_2$，在区间 $[y_1, y_2]$ 上对 $g''(x)$ 应用罗尔定理，存在 $\xi \in (y_1, y_2) \subset (-1,1)$ 使得 $g'''(\xi) = 0$。
公式：\exists \xi \in (y_1, y_2) \subset (-1,1): g'''(\xi)=0
提示：这里 $\xi$ 严格位于 $(-1,1)$ 内，因为 $y_1 > -1$ 且 $y_2 < 1$。
步骤 6/6
目标：将 $g'''(\xi)=0$ 转化为原函数结论
由 $g'''(x) = f'''(x) - 3$，代入 $\xi$ 得 $f'''(\xi) - 3 = 0$，即 $f'''(\xi) = 3$。结论得证。
公式：f'''(\xi) = 3
提示：注意回代时不要遗漏常数项。
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