北京工业大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．叙述致密性定理并证明：设 $\displaystyle D_{1}, D_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的两个非空闭集且 $\displaystyle D_{1}$ 有界，则存在 $\displaystyle x_{0} \in D_{1}, y_{0} \in D_{2}$ ，使
$$
\left\|x_{0}-y_{0}\right\|=\inf _{\substack{x \in D_{1} \\ y \in D_{2}}}\|x-y\|
$$
其中 $\displaystyle \|\cdot\|$ 表示 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的欧氏距离．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：叙述致密性定理
致密性定理（Bolzano–Weierstrass 定理）指出：在 $\mathbb{R}^n$ 中，任何有界无穷子集至少有一个聚点，即存在收敛子列，且极限点属于该集合的闭包。在本题中，我们主要用到其推论：有界闭集是序列紧的，即其中任何点列都有收敛子列且极限仍在该集合中。
公式：有界无穷子集 $\Rightarrow$ 存在收敛子列
提示：注意区分聚点与极限点的概念，在闭集中极限点一定属于该集合。
步骤 2/5
目标：定义下确界并构造点列
令 $d = \inf\{\|x - y\| : x \in D_1, y \in D_2\}$。由下确界的定义，存在点列 $(x_n) \subset D_1$ 和 $(y_n) \subset D_2$，使得 $\|x_n - y_n\| \to d$ 当 $n \to \infty$。
公式：d = \inf\{\|x - y\| : x \in D_1, y \in D_2\}
提示：下确界不一定可达，因此需要构造逼近点列，这是证明的关键起点。
步骤 3/5
目标：利用致密性定理处理 $D_1$ 中的点列
由于 $D_1$ 有界，由致密性定理，点列 $(x_n)$ 有收敛子列。不妨设该子列仍记为 $(x_n)$，收敛到某点 $x_0$。又因为 $D_1$ 是闭集，所以 $x_0 \in D_1$。
公式：x_n \to x_0, \quad x_0 \in D_1
提示：这里需要确保子列与原序列的记号一致，避免混淆，通常用重标号技巧。
步骤 4/5
目标：证明对应的 $y_n$ 子列有界并提取收敛子列
由 $\|x_n - y_n\| \to d$，对充分大的 $n$，有 $\|y_n\| \le \|y_n - x_n\| + \|x_n\| \le (d+1) + M$，其中 $M$ 是 $D_1$ 的一个界（因为 $D_1$ 有界）。因此 $\{y_n\}$ 也有界。再次应用致密性定理，存在子列（仍记为 $y_n$）收敛到某点 $y_0$。由于 $D_2$ 是闭集，所以 $y_0 \in D_2$。
公式：\|y_n\| \le \|y_n - x_n\| + \|x_n\| \le (d+1) + M
提示：注意这里需要同时取 $x_n$ 和 $y_n$ 的相同子列下标，确保它们同步收敛。
步骤 5/5
目标：取极限得到距离等于下确界
现在我们有 $x_n \to x_0$，$y_n \to y_0$，并且 $\|x_n - y_n\| \to d$。由范数的连续性，$\|x_0 - y_0\| = \lim_{n\to\infty} \|x_n - y_n\| = d$。因此这对点 $(x_0, y_0)$ 实现了下确界。
公式：\|x_0 - y_0\| = \lim_{n\to\infty} \|x_n - y_n\| = d
提示：范数的连续性保证了极限与范数运算可交换，这是最后一步的关键。
步骤 6/6
目标：利用范数的连续性得到下确界可达
由范数的连续性，\(\|x_n-y_n\|\to \|x_0-y_0\|\)。又已知\(\|x_n-y_n\|\to d\)，故\(\|x_0-y_0\| = d\)。因此存在\(x_0\in D_1, y_0\in D_2\)使得距离等于下确界。
公式：\|x_0-y_0\| = \lim_{n\to\infty}\|x_n-y_n\| = d
提示：范数的连续性保证极限可交换，注意这里\(d\)是下确界，所以结论是下确界可达。
步骤 7/7
目标：总结结论
由致密性定理，存在 $x_0 \in D_1$ 和 $y_0 \in D_2$，使得 $\|x_0 - y_0\| = \inf_{x \in D_1, y \in D_2} \|x - y\|$。证毕。
提示：本题的关键在于两次使用致密性定理，并利用闭集性质保证极限点属于原集合。
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