北京工业大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ 的收敛域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出幂级数并引入调和数记号
设调和数 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$，则原幂级数可写为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} H_n x^n$。
公式：$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$
提示：注意 $H_n$ 是调和数，当 $n$ 很大时 $H_n \sim \ln n + \gamma$，其中 $\gamma$ 是欧拉常数。
步骤 2/8
目标：求收敛半径
使用比值法：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{H_{n+1}}{H_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{H_n + \frac{1}{n+1}}{H_n} = 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)H_n} = 1$，因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = 1$
提示：由于 $H_n \sim \ln n$，$\sqrt[n]{H_n} \to 1$，也可用根值法得到相同结果。
步骤 3/8
目标：讨论端点收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum H_n$，由于 $H_n \to \infty$，通项不趋于0，级数发散。当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum H_n (-1)^n$，由于 $H_n$ 单调递增且不趋于0，通项不趋于0，级数也发散。
公式：端点 $x=1$ 和 $x=-1$ 均发散
提示：判断端点时，必须检查通项是否趋于0，这是级数收敛的必要条件。
步骤 4/8
目标：确定收敛域
由收敛半径 $R=1$ 且端点均发散，故收敛域为开区间 $(-1,1)$。
公式：收敛域：$(-1,1)$
提示：不要忘记端点检验，很多幂级数在端点可能条件收敛或发散。
步骤 5/8
目标：利用交换求和次序求和方法
设 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty H_n x^n$，$|x|<1$。将 $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ 代入并交换求和次序：$S(x) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} x^n = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \sum_{n=k}^\infty x^n$。
公式：$S(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \cdot \frac{x^k}{1-x}$
提示：交换求和次序时，注意内层求和从 $n=k$ 开始，因为当 $n
步骤 6/8
目标：计算内层等比级数
对于 $|x|<1$，$\sum_{n=k}^\infty x^n = x^k + x^{k+1} + \cdots = \frac{x^k}{1-x}$。
公式：$\sum_{n=k}^\infty x^n = \frac{x^k}{1-x}$
提示：这是无穷等比级数求和公式，首项为 $x^k$，公比为 $x$。
步骤 7/8
目标：利用已知对数级数求和
于是 $S(x) = \frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k}$。而 $\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x)$，$|x|<1$。
公式：$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x)$
提示：这是麦克劳林展开的标准结果，注意定义域 $|x|<1$。
步骤 8/8
目标：写出和函数并验证
因此 $S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}$，$|x|<1$。验证：当 $x=0$ 时，$S(0)=0$，级数首项也为0；展开 $ -\frac{\ln(1-x)}{1-x}$ 的前几项可得 $x + \frac{3}{2}x^2 + \cdots$，与 $H_1=1, H_2=1+\frac12$ 一致。
公式：$S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}$
提示：可以展开验证系数，确保和函数正确。
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