北京工业大学 2026年数学分析第5题

由于函数在原点处定义为0，使用偏导数的定义： $$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$$ 当 $y=0$ 且 $x\neq 0$ 时，$f(x,0)=\frac{x\cdot0\cdot(x^2-0)}{x^2+0}=0$，所以分子为0，极限为0。因此 $f_x(0,0)=0$。 同理，$f_y(0,0)=0$。

当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$f(x,y)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}=\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}$。 对 $x$ 求偏导（使用商法则）： 令分子 $M=x^3y-xy^3$，分母 $N=x^2+y^2$，则 $$M_x=3x^2y-y^3,\quad N_x=2x$$ $$f_x=\frac{M_xN-MN_x}{N^2}=\frac{(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}$$ 展开并化简分子： 第一项：$(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)=3x^4y+3x^2y^3-x^2y^3-y^5=3x^4y+2x^2y^3-y^5$ 第二项：$(x^3y-xy^3)(2x)=2x^4y-2x^2y^3$ 分子相减得：$(3x^4y+2x^2y^3-y^5)-(2x^4y-2x^2y^3)=x^4y+4x^2y^3-y^5$ 因此： $$f_x(x,y)=\frac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2},\quad (x,y)\neq(0,0)$$

使用定义： $$f_{xy}''(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k}$$ 已知 $f_x(0,0)=0$。当 $x=0,\,y=k\neq0$ 时，代入 $f_x$ 表达式： $$f_x(0,k)=\frac{0^4\cdot k+4\cdot0^2\cdot k^3-k^5}{(0+k^2)^2}=\frac{-k^5}{k^4}=-k$$ 因此： $$f_{xy}''(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{-k-0}{k}=-1$$

对 $f(x,y)=\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}$ 关于 $y$ 求偏导： 令 $M=x^3y-xy^3$，$N=x^2+y^2$，则 $$M_y=x^3-3xy^2,\quad N_y=2y$$ $$f_y=\frac{M_yN-MN_y}{N^2}=\frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}$$ 展开并化简分子： 第一项：$(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)=x^5+x^3y^2-3x^3y^2-3xy^4=x^5-2x^3y^2-3xy^4$ 第二项：$(x^3y-xy^3)(2y)=2x^3y^2-2xy^4$ 分子相减得：$(x^5-2x^3y^2-3xy^4)-(2x^3y^2-2xy^4)=x^5-4x^3y^2-xy^4$ 因此： $$f_y(x,y)=\frac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2},\quad (x,y)\neq(0,0)$$

使用定义： $$f_{yx}''(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}$$ 已知 $f_y(0,0)=0$。当 $y=0,\,x=h\neq0$ 时，代入 $f_y$ 表达式： $$f_y(h,0)=\frac{h^5-4h^3\cdot0-h\cdot0}{(h^2+0)^2}=\frac{h^5}{h^4}=h$$ 因此： $$f_{yx}''(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{h-0}{h}=1$$

计算得到两个混合偏导数不相等： $$f_{xy}''(0,0)=-1,\quad f_{yx}''(0,0)=1$$ 这说明在原点处混合偏导数与求导顺序有关，因此二阶混合偏导在该点不连续。

计算得到 $f_{xy}(0,0) = -1$，$f_{yx}(0,0) = 1$，两者不相等。这表明该函数在原点处的混合偏导数与求导顺序有关，即二阶混合偏导在原点不连续。