北京工业大学 2026年数学分析第6题

考虑级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$，通项为 $u_n(x)=x^n(1-x)^2$。对固定的 $x\in[0,1]$，当 $x<1$ 时，级数为等比级数，公比为 $x$，收敛；当 $x=1$ 时，每项为 $0$，也收敛。和函数为 $S(x)=(1-x)^2\sum_{n=0}^\infty x^n=(1-x)^2\cdot\frac{1}{1-x}=1-x$（$0\le x<1$），且 $S(1)=0$，故在 $[0,1]$ 上 $S(x)=1-x$。

余项 $R_n(x)=S(x)-\sum_{k=0}^n x^k(1-x)^2 = (1-x)^2\sum_{k=n+1}^\infty x^k = (1-x)^2\cdot\frac{x^{n+1}}{1-x}=x^{n+1}(1-x)$。令 $f(x)=x^{n+1}(1-x)$，在 $[0,1]$ 上求最大值。求导得 $f'(x)=x^n[(n+1)-(n+2)x]$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\frac{n+1}{n+2}$。端点 $f(0)=f(1)=0$，故最大值在 $x=\frac{n+1}{n+2}$ 处。

最大值 $f_{\max}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{n+2}$。由于 $\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}\to\frac{1}{e}$，故 $f_{\max}\sim\frac{1}{e(n+2)}\to 0$（$n\to\infty$）。因此 $\sup_{x\in[0,1]}|R_n(x)|\to 0$，由一致收敛定义，级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。

考虑级数 $\sum_{n=0}^\infty x^n(1-x)$，通项为 $v_n(x)=x^n(1-x)$。当 $x<1$ 时，和为 $S(x)=(1-x)\cdot\frac{1}{1-x}=1$；当 $x=1$ 时，每项为 $0$，和为 $0$。故和函数为 $S(x)=\begin{cases}1, & 0\le x<1 \\ 0, & x=1\end{cases}$，在 $x=1$ 处不连续。

部分和 $S_n(x)=(1-x)\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1-x^{n+1}$（$x<1$），且 $S_n(1)=0$。余项：当 $x<1$ 时，$R_n(x)=S(x)-S_n(x)=1-(1-x^{n+1})=x^{n+1}$；当 $x=1$ 时，$R_n(1)=0-0=0$。因此 $\sup_{x\in[0,1]}|R_n(x)|=\sup_{x\in[0,1)} x^{n+1}=1$，不趋于 $0$。

由于每个部分和 $S_n(x)=1-x^{n+1}$ 在 $[0,1]$ 上连续，但和函数 $S(x)$ 在 $x=1$ 处不连续。若级数一致收敛，则极限函数必连续，矛盾。或者直接由余项上确界不趋于 $0$ 得非一致收敛。因此级数在 $[0,1]$ 上非一致收敛。