北京工业大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．设抛物线 $\displaystyle y=a x^{2}+b x$ 满足当 $\displaystyle x \in[0,1]$ 时，$\displaystyle y \geq 0$ ，已知改抛物线与 $x$ 轴及直线 $\displaystyle x=1$ 所围图形的面积为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 使该抛物线与直线 $\displaystyle x=1$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立面积条件方程
抛物线 $y = a x^2 + b x$ 与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\int_0^1 (a x^2 + b x) \, dx = \frac{1}{3}$。计算积分得 $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{1}{3}$，两边乘以 6 得 $2a + 3b = 2$。
公式：\int_0^1 (a x^2 + b x) \, dx = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2a + 3b = 2
提示：注意积分上下限为 0 到 1，且 $y \geq 0$ 保证面积直接等于积分值。
步骤 2/5
目标：写出旋转体体积公式
该图形绕 $x$ 轴旋转的体积为 $V = \pi \int_0^1 (a x^2 + b x)^2 \, dx$。展开被积函数：$(a x^2 + b x)^2 = a^2 x^4 + 2ab x^3 + b^2 x^2$，逐项积分得 $V = \pi \left( \frac{a^2}{5} + \frac{ab}{2} + \frac{b^2}{3} \right)$。
公式：V = \pi \int_0^1 (a x^2 + b x)^2 \, dx = \pi \left( \frac{a^2}{5} + \frac{ab}{2} + \frac{b^2}{3} \right)
提示：旋转体体积公式 $V = \pi \int [f(x)]^2 dx$，注意平方展开和积分计算要准确。
步骤 3/5
目标：利用约束条件消元
由 $2a + 3b = 2$ 得 $a = 1 - \frac{3}{2}b$。代入体积表达式：$a^2 = 1 - 3b + \frac{9}{4}b^2$，$ab = b - \frac{3}{2}b^2$。计算得 $V(b) = \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{10}b + \frac{1}{30}b^2 \right)$。
公式：V(b) = \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{10}b + \frac{1}{30}b^2 \right)
提示：合并 $b^2$ 系数时需通分，注意分数运算的准确性。
步骤 4/5
目标：求体积最小值对应的参数
$V(b)$ 是开口向上的二次函数，最小值在导数等于零处：$V'(b) = \pi \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{15}b \right) = 0$，解得 $b = \frac{3}{2}$。代入 $2a + 3b = 2$ 得 $a = -\frac{5}{4}$。
公式：V'(b) = \pi \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{15}b \right) = 0 \Rightarrow b = \frac{3}{2}, \quad a = -\frac{5}{4}
提示：求导时注意常数因子 $\pi$ 不影响极值点。
步骤 5/5
目标：验证非负条件
将 $a = -\frac{5}{4}, b = \frac{3}{2}$ 代入抛物线：$y = -\frac{5}{4}x^2 + \frac{3}{2}x = x\left( -\frac{5}{4}x + \frac{3}{2} \right)$，根为 $x=0$ 和 $x = \frac{6}{5} = 1.2$，在 $[0,1]$ 上 $y \geq 0$，满足条件。
公式：y = x\left( -\frac{5}{4}x + \frac{3}{2} \right), \quad \text{在 } [0,1] \text{ 上 } y \geq 0
提示：检查另一个根是否在区间右侧，确保区间内非负。
步骤 6/6
目标：给出最终答案
因此，当 $a = -\frac{5}{4}$，$b = \frac{3}{2}$ 时，旋转体体积最小。
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