北京师范大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=\ln \left(1+a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明数列单调递减且有下界，从而极限存在
已知 $a_1 > 0$，利用不等式 $\ln(1+x) < x$（对 $x>0$ 成立），得 $a_2 = \\ln(1+a_1) < a_1$，且 $a_2 > 0$。假设 $a_n > 0$，则 $a_{n+1} = \\ln(1+a_n) > 0$，且 $a_{n+1} < a_n$。由数学归纳法，数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $0$，故极限存在。
公式：$a_{n+1} = \\ln(1+a_n) < a_n$ 对 $a_n > 0$ 恒成立
提示：注意验证初始条件和归纳步骤，确保单调性成立。
步骤 2/5
目标：求数列极限 $\\lim_{n\\to\\infty} a_n$
设极限为 $L$，对递推式两边取极限得 $L = \\ln(1+L)$。方程 $L = \\ln(1+L)$ 的解为 $L=0$（因为函数 $f(x)=\\ln(1+x)-x$ 在 $x>0$ 时恒负，仅在 $x=0$ 处为零）。因此 $\\lim_{n\\to\\infty} a_n = 0$。
公式：$L = \\ln(1+L) \\Rightarrow L=0$
提示：注意 $L$ 必须非负，且方程只有零解。
步骤 3/5
目标：利用泰勒展开将递推式转化为差分形式
当 $x \\to 0^+$ 时，$\\ln(1+x) = x - \\frac{x^2}{2} + O(x^3)$。代入递推式得 $a_{n+1} = a_n - \\frac{a_n^2}{2} + o(a_n^2)$，移项得 $a_n - a_{n+1} = \\frac{a_n^2}{2} + o(a_n^2)$。
公式：$a_{n+1} = a_n - \\frac{a_n^2}{2} + o(a_n^2)$
提示：泰勒展开的精度要足够，此处需要到二阶项。
步骤 4/5
目标：构造倒数数列并估计其差分
令 $b_n = \\frac{1}{a_n}$，则 $b_{n+1} = \\frac{1}{a_{n+1}} = \\frac{1}{a_n - \\frac{a_n^2}{2} + o(a_n^2)} = \\frac{1}{a_n} \\cdot \\frac{1}{1 - \\frac{a_n}{2} + o(a_n)}$。利用展开 $\\frac{1}{1-x} = 1 + x + O(x^2)$ 得 $b_{n+1} = \\frac{1}{a_n} \\left(1 + \\frac{a_n}{2} + O(a_n^2)\\right) = b_n + \\frac{1}{2} + O(a_n)$。因此 $b_{n+1} - b_n \\to \\frac{1}{2}$ 当 $n \\to \\infty$。
公式：$b_{n+1} - b_n = \\frac{1}{2} + O(a_n)$
提示：注意 $a_n \\to 0$，所以 $O(a_n)$ 项趋于零。
步骤 5/5
目标：应用Stolz定理求 $\\lim n a_n$
由 $b_{n+1} - b_n \\to \\frac{1}{2}$，根据Stolz定理（或等差数列极限性质），有 $\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{b_n}{n} = \\frac{1}{2}$。而 $\\frac{b_n}{n} = \\frac{1}{n a_n}$，故 $\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n a_n} = \\frac{1}{2}$，从而 $\\lim_{n\\to\\infty} n a_n = 2$。
公式：$\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{b_n}{n} = \\frac{1}{2} \\Rightarrow \\lim_{n\\to\\infty} n a_n = 2$
提示：Stolz定理适用于 $\\frac{\\infty}{\\infty}$ 型极限，此处 $b_n \\to \\infty$，满足条件。
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