📝 北京师范大学 2024年数学分析真题
第1题
1．设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=\ln \left(1+a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．
第2题
2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时有渐近线 $\displaystyle y=b x+c$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
第3题
3．证明：方程 $\displaystyle 3^{x}+7^{x}=2 \cdot 5^{x}$ 的实根只有 0 和 1 ．
第4题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且恒正，证明：对任意的正整数 $n$ ，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in(0,1)$ ，使得
$$
\frac{1}{n} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\xi_{n}} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_{n}=\frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{f(0)+f(1)}$ ．
$$
\frac{1}{n} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\xi_{n}} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_{n}=\frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{f(0)+f(1)}$ ．
第5题
5．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n \int_{x}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为连续可微的 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数列，且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
第6题
6．判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)$ 的玫散性，$\displaystyle p>0$ ．
第7题
7．计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{2} n x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第8题
8．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有连续的偏导数，且满足 $\displaystyle -y \frac{\partial f}{\partial x}+x \frac{\partial f}{\partial y}+b \frac{\partial f}{\partial z} \geq c$ ，其中 $\displaystyle b, c$ 为正实数，证明：当 $\displaystyle (x, y, z)$ 沿着 $\displaystyle x=b \cos t, y=b \sin t, z=b t, t \in[0,+\infty)$ 趋于无穷时，$\displaystyle f(x, y, z) \rightarrow+\infty$ ．
第9题
9．设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=2$ 之间的曲面，求曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$
其中（ $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ）为 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量．
$$
\iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$
其中（ $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ）为 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量．
第10题
10．计算曲线积分
$$
\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向．（可能有误）
$$
\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向．（可能有误）