北京师范大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6．判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)$ 的玫散性，$\displaystyle p>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出通项并展开为泰勒级数
考虑通项 $a_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{(-1)^n}{n^p} \to 0$，因此可使用 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ 展开，令 $x = \frac{(-1)^n}{n^p}$，得到：
$$ a_n = \frac{(-1)^n}{n^p} - \frac{1}{2n^{2p}} + O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right). $$
公式：\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right) = \frac{(-1)^n}{n^p} - \frac{1}{2n^{2p}} + O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)
提示：注意展开式中的符号：$(-1)^n$ 的平方为 $1$，因此第二项没有交错性，是恒负的。
步骤 2/6
目标：分析第一部分交错级数的收敛性
第一部分为 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p}$，这是一个交错级数。当 $p>0$ 时，$\frac{1}{n^p}$ 单调递减趋于 $0$，由莱布尼茨判别法知该级数收敛。进一步，当 $p>1$ 时，$\sum \frac{1}{n^p}$ 绝对收敛，故第一部分绝对收敛；当 $0
公式：\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p} \quad \text{收敛（莱布尼茨）}
提示：交错级数收敛的条件是通项绝对值单调递减趋于0，这里 $p>0$ 保证递减性。
步骤 3/6
目标：分析第二部分p-级数的收敛性
第二部分为 $-\frac12 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2p}}$，这是一个常数倍数的 $p$ 级数。该级数收敛当且仅当 $2p > 1$，即 $p > \frac12$；当 $p \le \frac12$ 时，$2p \le 1$，级数发散到 $-\infty$。
公式：\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2p}} \quad \text{收敛当且仅当 } p > \frac12
提示：注意第二部分是负的，因此发散时趋向负无穷，可能导致整体发散。
步骤 4/6
目标：分析第三部分高阶小量的收敛性
第三部分为 $O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)$，其收敛性由 $3p > 1$ 即 $p > \frac13$ 时绝对收敛；当 $0 < p \le \frac13$ 时，该部分可能发散，但相对于第二部分（当 $p \le \frac12$ 时发散）是更高阶的无穷小，不影响整体发散性的判断。
公式：\sum O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right) \quad \text{当 } p>0 \text{ 时不影响主要发散性}
提示：高阶小量在比较判别法中可忽略，但需确保其不改变发散方向。
步骤 5/6
目标：综合各部分，分情况讨论级数的敛散性
根据 $p$ 的范围，综合三部分：
- 当 $p > 1$：第一部分绝对收敛，第二部分收敛（$2p>2>1$），第三部分收敛，故原级数绝对收敛。
- 当 $\frac12 < p \le 1$：第一部分条件收敛，第二部分收敛（$2p>1$），第三部分收敛，故原级数条件收敛。
- 当 $0 < p \le \frac12$：第一部分条件收敛（有界），第二部分发散到 $-\infty$，第三部分相对次要，整体发散到 $-\infty$，故原级数发散。
公式：\text{原级数} = \sum \frac{(-1)^n}{n^p} - \frac12 \sum \frac{1}{n^{2p}} + \sum O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)
提示：当 $p \le 0.5$ 时，第二部分发散占主导，不能因为第一部分收敛就误判整体收敛。
步骤 6/6
目标：给出最终结论
综上所述，级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)$ 的敛散性为：
- 若 $p > 1$，绝对收敛；
- 若 $\frac12 < p \le 1$，条件收敛；
- 若 $0 < p \le \frac12$，发散。
公式：\text{结论：} \begin{cases} \text{绝对收敛}, & p>1 \\ \text{条件收敛}, & \frac12 < p \le 1 \\ \text{发散}, & 0 < p \le \frac12 \end{cases}
提示：边界点 $p=1$ 属于条件收敛，$p=\frac12$ 属于发散，注意不要遗漏。
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