北京师范大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=2$ 之间的曲面，求曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$
其中（ $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ）为 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意与曲面结构
曲面 $\Sigma$ 是旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 介于 $z=0$ 与 $z=2$ 之间的部分。被积表达式 $x^2 \cos \alpha + y^2 \cos \beta + z^2 \cos \gamma$ 可视为向量场 $\mathbf{F} = (x^2, y^2, z^2)$ 与单位外法向量 $\mathbf{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 的点积，因此曲面积分为 $\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$。曲面开口向上，外法向指向封闭区域外侧。
公式：\iint_\Sigma (x^2 \cos \alpha + y^2 \cos \beta + z^2 \cos \gamma) \, dS = \iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS
提示：注意曲面仅为抛物面侧表面，不包含底面和顶面，但可补面后用高斯公式。
步骤 2/4
目标：补面构造封闭曲面，应用高斯公式
补上顶面 $S_3$：$z=2$，$x^2+y^2 \le 2$，法向量向上 $(0,0,1)$。底面 $z=0$ 退化为一点，面积为零，忽略。封闭曲面由 $\Sigma$ 和 $S_3$ 组成，方向均为外法向。计算散度：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x + 2y + 2z$。由高斯公式：$\iint_{\Sigma + S_3} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (2x+2y+2z) \, dV$，其中 $V$ 是抛物面与平面 $z=2$ 围成的区域。
公式：\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2y + 2z
提示：由于区域关于 $x$ 和 $y$ 对称，$2x$ 和 $2y$ 的积分为零，只需计算 $2z$ 的积分。
步骤 3/4
目标：计算三重积分
区域 $V$：$0 \le z \le 2$，对于每个 $z$，$x^2+y^2 \le z$（抛物面为下边界）。使用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元 $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$。积分：$\iiint_V 2z \, dV = \int_{z=0}^2 \int_{r=0}^{\sqrt{z}} \int_{\theta=0}^{2\pi} 2z \cdot r \, d\theta \, dr \, dz$。先对 $\theta$ 积分得 $2\pi$：$= 4\pi \int_0^2 z \left( \int_0^{\sqrt{z}} r \, dr \right) dz$。内层积分 $\int_0^{\sqrt{z}} r \, dr = \frac{1}{2}z$，代入得 $= 4\pi \int_0^2 z \cdot \frac{z}{2} \, dz = 2\pi \int_0^2 z^2 \, dz = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}$。
公式：\iiint_V 2z \, dV = 2\pi \int_0^2 z^2 \, dz = \frac{16\pi}{3}
提示：柱坐标中 $r$ 的积分上限是 $\sqrt{z}$，注意不要遗漏 $r$ 的雅可比因子。
步骤 4/4
目标：计算顶面通量并减去
顶面 $S_3$：$z=2$，$x^2+y^2 \le 2$，外法向为 $(0,0,1)$，故 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = z^2 = 4$。通量：$\iint_{S_3} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_{x^2+y^2 \le 2} 4 \, dA = 4 \times \text{圆盘面积} = 4 \times 2\pi = 8\pi$。由高斯公式：$\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS + 8\pi = \frac{16\pi}{3}$，因此 $\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{16\pi}{3} - 8\pi = -\frac{8\pi}{3}$。
公式：\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{16\pi}{3} - 8\pi = -\frac{8\pi}{3}
提示：注意顶面法向与封闭区域外法向一致，符号为正；底面退化为点，贡献为零。
步骤 5/8
目标：对角度 $\theta$ 积分
由于 $\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0$，$\int_0^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = 0$，含 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的项积分为零。剩余项为：
$$\int_0^{2\pi} (4r - r^5) \, d\theta = 2\pi (4r - r^5)$$
公式：\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0, \quad \int_0^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = 0
提示：利用三角函数的周期性简化积分，注意只有与 $\theta$ 无关的项才保留。
步骤 6/8
目标：对径向 $r$ 积分
对 $r$ 积分：
$$\int_0^{\sqrt{2}} 2\pi (4r - r^5) \, dr = 2\pi \left[ 2r^2 - \frac{r^6}{6} \right]_0^{\sqrt{2}}$$
代入 $r^2 = 2$，$r^6 = (r^2)^3 = 8$，得：
$$2\pi \left( 2 \cdot 2 - \frac{8}{6} \right) = 2\pi \left(4 - \frac{4}{3}\right) = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}$$
公式：\int_0^{\sqrt{2}} 2\pi (4r - r^5) \, dr = \frac{16\pi}{3}
提示：计算 $r^6$ 时注意 $r^6 = (r^2)^3$，代入 $r^2=2$ 得 $8$。
步骤 7/8
目标：计算顶部圆盘的通量
顶部圆盘 $\Sigma_1$ 的单位外法向量为 $(0,0,1)$，因此 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = z^2 = 4$。圆盘面积为 $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$，所以通量为：
$$\iint_{\Sigma_1} 4 \, dS = 4 \times 2\pi = 8\pi$$
公式：\iint_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 4 \cdot \text{Area}(\Sigma_1) = 8\pi
提示：顶部圆盘的法向量方向与封闭曲面的外侧一致，因此通量为正。
步骤 8/8
目标：得到原曲面积分的结果
原曲面 $\Sigma$ 的通量等于封闭曲面总通量减去顶部圆盘的通量：
$$\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{16\pi}{3} - 8\pi = \frac{16\pi}{3} - \frac{24\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}$$
公式：\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{16\pi}{3} - 8\pi = -\frac{8\pi}{3}
提示：注意符号：封闭曲面总通量减去补面的通量，因为补面方向与封闭曲面一致。
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