北京师范大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且恒正，证明：对任意的正整数 $n$ ，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in(0,1)$ ，使得
$$
\frac{1}{n} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\xi_{n}} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_{n}=\frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{f(0)+f(1)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并证明存在性
设 $I = \int_0^1 f(x)\,dx > 0$。定义辅助函数 $F(t) = \int_0^t f(x)\,dx + \int_{1-t}^1 f(x)\,dx$，$t \in [0,1]$。则 $F(0)=0$，$F(1)=2I$。由于 $f(x)>0$，对任意正整数 $n$ 有 $0 < \frac{I}{n} < 2I$。由 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 上连续及介值定理，存在 $\xi_n \in (0,1)$ 使得 $F(\xi_n) = \frac{I}{n}$。
公式：F(t) = \int_0^t f(x)\,dx + \int_{1-t}^1 f(x)\,dx
提示：注意 $F(t)$ 的连续性由变上限积分保证，且 $F(1)=2I$ 严格大于 $I/n$。
步骤 2/5
目标：利用积分中值定理化简方程
由积分中值定理，存在 $a_n \in (0,\xi_n)$ 和 $b_n \in (1-\xi_n,1)$ 使得：
\[
\int_0^{\xi_n} f(x)\,dx = f(a_n)\xi_n, \quad \int_{1-\xi_n}^1 f(x)\,dx = f(b_n)\xi_n.
\]
代入 $F(\xi_n)=\frac{I}{n}$ 得：
\[
\frac{I}{n} = [f(a_n)+f(b_n)]\xi_n.
\]
公式：\frac{I}{n} = [f(a_n)+f(b_n)]\xi_n
提示：中值点 $a_n$ 和 $b_n$ 依赖于 $\xi_n$，但不需要具体表达式。
步骤 3/5
目标：推导 $n\xi_n$ 的表达式
由上式解出 $\xi_n$：
\[
n\xi_n = \frac{I}{f(a_n)+f(b_n)}.
\]
公式：n\xi_n = \frac{I}{f(a_n)+f(b_n)}
提示：注意 $f(a_n)+f(b_n)>0$，因为 $f$ 恒正。
步骤 4/5
目标：分析 $\xi_n$ 的极限行为
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{I}{n} \to 0$，而 $F(\xi_n)=\frac{I}{n}$ 且 $F(t)$ 在 $t=0$ 附近连续，故 $\xi_n \to 0^+$。于是 $a_n \to 0$，$b_n \to 1$。由 $f$ 的连续性得：
\[
\lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(0), \quad \lim_{n\to\infty} f(b_n) = f(1).
\]
公式：\lim_{n\to\infty} f(a_n)=f(0), \quad \lim_{n\to\infty} f(b_n)=f(1)
提示：这里用到了 $\xi_n \to 0$ 的隐含结论，需从 $F(\xi_n) \to 0$ 和 $F$ 的单调性（$f>0$ 保证 $F$ 严格增）推出。
步骤 5/5
目标：计算极限并得出结论
对 $n\xi_n = \frac{I}{f(a_n)+f(b_n)}$ 取极限：
\[
\lim_{n\to\infty} n\xi_n = \frac{I}{f(0)+f(1)} = \frac{\int_0^1 f(x)\,dx}{f(0)+f(1)}.
\]
公式：\lim_{n\to\infty} n\xi_n = \frac{\int_0^1 f(x)\,dx}{f(0)+f(1)}
提示：分母 $f(0)+f(1)>0$ 由 $f$ 恒正保证，极限存在且有限。
步骤 6/6
目标：利用连续性求极限
由 $f$ 的连续性，$\lim_{n\to\infty} f(\alpha_n) = f(0)$，$\lim_{n\to\infty} f(\beta_n) = f(1)$。因此
\[
\lim_{n\to\infty} n \xi_n = \frac{\int_{0}^{1} f(x) \, dx}{f(0) + f(1)}.
\]
公式：\lim_{n\to\infty} n \xi_n = \frac{\int_{0}^{1} f(x) \, dx}{f(0) + f(1)}
提示：注意 $f(0)$ 和 $f(1)$ 是常数，分母不为零。
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