北京师范大学 2024年数学分析第10题

已知球面方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\)，圆柱面方程为 \(x^2 + y^2 = 4\)。将圆柱面方程代入球面方程：\(4 + z^2 = 4\)，解得 \(z^2 = 0\)，即 \(z = 0\)。因此交线 \(L\) 为平面 \(z=0\) 上的圆：\(x^2 + y^2 = 4\)。方向：从 \(z\) 轴正向看为逆时针方向。

设 \(P = y^2 - z^2\)，\(Q = z^2 - x^2\)，\(R = x^2 - y^2\)。计算旋度各分量： - \(\frac{\partial R}{\partial y} = -2y\)，\(\frac{\partial Q}{\partial z} = 2z\)，第一分量为 \(-2y - 2z\)； - \(\frac{\partial P}{\partial z} = -2z\)，\(\frac{\partial R}{\partial x} = 2x\)，第二分量为 \(-2z - 2x\)； - \(\frac{\partial Q}{\partial x} = -2x\)，\(\frac{\partial P}{\partial y} = 2y\)，第三分量为 \(-2x - 2y\)。 因此旋度向量场为 \(\operatorname{rot}(\mathbf{F}) = (-2y - 2z,\; -2z - 2x,\; -2x - 2y)\)。

由于曲线 \(L\) 位于平面 \(z=0\) 上，选取曲面 \(S\) 为圆盘：\(x^2 + y^2 \le 4\)，\(z=0\)。根据右手法则，曲线逆时针方向对应曲面的法向量向上，即 \(\mathbf{n} = (0,0,1)\)。

在曲面 \(z=0\) 上，\(dz=0\)，且法向量向上，斯托克斯公式简化为： \[ \iint_S \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_S (-2x - 2y) \, dA \] 其中 \(dA\) 为面积元。

积分区域 \(S\) 是半径为2的圆盘，关于 \(x\) 和 \(y\) 轴对称。被积函数 \(-2x-2y\) 中，\(-2x\) 是 \(x\) 的奇函数，\(-2y\) 是 \(y\) 的奇函数，在对称区域上积分均为0。因此整个积分为0。

由斯托克斯公式，原曲线积分等于该曲面积分，故 $I=0$。