北京师范大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时有渐近线 $\displaystyle y=b x+c$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆一致连续的定义和常用判定方法
函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。对于无穷区间，通常将其分为有限闭区间和无穷远处两部分分别处理。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in I:|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：利用渐近线条件构造辅助函数
由题，当 $x\to+\infty$ 时，$f(x)$ 有渐近线 $y=bx+c$，即 $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(bx+c)]=0$。令 $g(x)=f(x)-(bx+c)$，则 $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$。于是对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>a$，使得当 $x\ge M$ 时，$|g(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$，$g(x)=f(x)-bx-c$
提示：渐近线条件给出了函数在无穷远处的线性近似，这是处理无穷区间一致连续的关键。
步骤 3/5
目标：在无穷区间 $[M,+\infty)$ 上证明一致连续
对于 $x_1,x_2\ge M$，有 $f(x)=bx+c+g(x)$，则
\[
|f(x_1)-f(x_2)| = |b(x_1-x_2)+g(x_1)-g(x_2)| \le |b||x_1-x_2| + |g(x_1)|+|g(x_2)|.
\]
当 $x_1,x_2\ge M$ 时，$|g(x_1)|<\frac{\varepsilon}{3}$，$|g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}$，故
\[
|f(x_1)-f(x_2)| < |b||x_1-x_2| + \frac{2\varepsilon}{3}.
\]
要使上式 $<\varepsilon$，只需 $|b||x_1-x_2|<\frac{\varepsilon}{3}$，即取 $\delta_1 = \frac{\varepsilon}{3(|b|+1)}$（分母加1防止 $b=0$ 时为零）。于是当 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，故 $f$ 在 $[M,+\infty)$ 上一致连续。
公式：$|f(x_1)-f(x_2)| \le |b||x_1-x_2| + \frac{2\varepsilon}{3}$，$\delta_1 = \frac{\varepsilon}{3(|b|+1)}$
提示：注意 $|b|$ 可能为零，此时 $\delta_1$ 仍为正数；此处 $\delta_1$ 的取法保证了 $|b||x_1-x_2|<\varepsilon/3$。
步骤 4/5
目标：在有限区间 $[a, M+1]$ 上利用康托定理
区间 $[a, M+1]$ 是闭区间，$f(x)$ 在其上连续，根据康托定理（闭区间上连续函数必一致连续），存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,M+1]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_2$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
公式：康托定理：闭区间上连续函数一致连续
提示：注意这里取区间右端点为 $M+1$ 而不是 $M$，是为了后续合并时覆盖中间点。
步骤 5/5
目标：合并两部分得到整体一致连续
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, 1\}$。对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$，分三种情况讨论：
- 若 $x_1,x_2\in[a,M+1]$，由 $\delta_2$ 保证 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$；
- 若 $x_1,x_2\in[M,+\infty)$，由 $\delta_1$ 保证 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$；
- 若 $x_1\in[a,M]$，$x_2\in[M,+\infty)$（或对称情况），由于 $|x_1-x_2|<\delta\le 1$，必有 $x_20$，存在 $\delta>0$ 使得 $|x_1-x_2|<\delta$ 时 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，即 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
公式：$\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, 1\}$
提示：取 $\delta\le 1$ 是为了保证跨区间时两点不会超出 $[a,M+1]$ 的范围，这是合并的关键技巧。
步骤 6/7
目标：综合选取统一的δ并处理跨区间情形
取 $\delta = \min\left\{ \delta_1,\ 1,\ \frac{\varepsilon}{3(|b|+1)} \right\}$。
- 若 $x_1, x_2$ 都在 $[a, M+1]$ 内：由 $\delta \leq \delta_1$ 保证 $|f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3} < \varepsilon$。
- 若 $x_1, x_2$ 都大于 $M$：由 $\delta \leq \frac{\varepsilon}{3(|b|+1)}$ 保证 $|b| \cdot |x_1-x_2| < \frac{\varepsilon}{3}$，从而 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。
- 若一点 $\leq M$，另一点 $> M$：由于 $\delta \leq 1$，且两点距离小于 $\delta$，则两点必然同时落在 $[a, M+1]$ 内（因为大于M的点不能超过M+1），故归为第一种情形。
因此，对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：\delta = \min\left\{ \delta_1,\ 1,\ \frac{\varepsilon}{3(|b|+1)} \right\}
提示：取 $\delta \leq 1$ 是为了保证跨区间两点不会越过M+1，从而落入紧区间；分母加1是为了避免 $b=0$ 时分母为0。
步骤 7/7
目标：得出结论
由上述推导，对任意 $\varepsilon > 0$，存在统一的 $\delta > 0$，使得对区间 $[a, +\infty)$ 上任意两点，只要距离小于 $\delta$，函数值差就小于 $\varepsilon$。
因此，$f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。证毕。
公式：\text{结论：} f(x) \text{ 在 } [a, +\infty) \text{ 上一致连续}
提示：证明的关键在于利用渐近线将无穷远处的行为转化为线性函数的控制，再结合紧区间的一致连续性。
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