北京师范大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有连续的偏导数，且满足 $\displaystyle -y \frac{\partial f}{\partial x}+x \frac{\partial f}{\partial y}+b \frac{\partial f}{\partial z} \geq c$ ，其中 $\displaystyle b, c$ 为正实数，证明：当 $\displaystyle (x, y, z)$ 沿着 $\displaystyle x=b \cos t, y=b \sin t, z=b t, t \in[0,+\infty)$ 趋于无穷时，$\displaystyle f(x, y, z) \rightarrow+\infty$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并转化为方向导数形式
已知函数 $f(x,y,z)$ 有连续偏导数，且满足不等式 $-y \frac{\partial f}{\partial x} + x \frac{\partial f}{\partial y} + b \frac{\partial f}{\partial z} \ge c$，其中 $b>0, c>0$。注意到左边可以写成梯度与向量 $\vec{v}=(-y, x, b)$ 的点积，即 $\nabla f \cdot \vec{v} \ge c$，这意味着沿着向量场 $\vec{v}$ 的方向导数至少为正常数 $c$。
公式：\nabla f \cdot (-y, x, b) \ge c
提示：注意向量 $\vec{v}$ 依赖于坐标 $(x,y,z)$，但在路径上会具体化。
步骤 2/5
目标：参数化路径并计算切向量
给定的路径为 $x = b \cos t,\; y = b \sin t,\; z = b t,\; t \in [0, +\infty)$。记路径为 $\vec{r}(t) = (b\cos t,\; b\sin t,\; b t)$，则切向量为 $\vec{r}'(t) = (-b\sin t,\; b\cos t,\; b)$。代入路径坐标，可得 $\vec{r}'(t) = (-y(t),\; x(t),\; b)$，恰好等于向量 $\vec{v}$ 在路径上的取值。
公式：\vec{r}'(t) = (-b\sin t,\; b\cos t,\; b) = (-y(t),\; x(t),\; b)
提示：注意 $b$ 是常数，不要与路径参数混淆。
步骤 3/5
目标：沿路径求全导数并利用条件
沿着曲线 $\vec{r}(t)$，函数 $f$ 对参数 $t$ 的全导数为 $\frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) = \nabla f \cdot \vec{r}'(t)$。由条件，$\nabla f \cdot \vec{r}'(t) = \nabla f \cdot (-y, x, b) \ge c$，因此 $\frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) \ge c$。
公式：\frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) \ge c
提示：全导数公式需注意链式法则，此处直接应用点积。
步骤 4/5
目标：积分得到函数值的增长下界
对任意 $t_2 > t_1 \ge 0$，积分上式得 $f(\vec{r}(t_2)) - f(\vec{r}(t_1)) = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) \, dt \ge \int_{t_1}^{t_2} c \, dt = c(t_2 - t_1)$。特别地，取 $t_1 = 0$，则对任意 $t > 0$ 有 $f(\vec{r}(t)) \ge f(\vec{r}(0)) + c t$。
公式：f(\vec{r}(t)) \ge f(\vec{r}(0)) + c t
提示：积分时注意方向导数连续，保证积分存在。
步骤 5/5
目标：由下界趋于无穷得出结论
由于 $c > 0$，当 $t \to +\infty$ 时，$f(\vec{r}(0)) + c t \to +\infty$，从而 $f(\vec{r}(t)) \to +\infty$。因此，当 $(x,y,z)$ 沿给定路径趋于无穷时，$f(x,y,z) \to +\infty$。
公式：\lim_{t\to +\infty} f(\vec{r}(t)) = +\infty
提示：注意路径趋于无穷是指 $t\to+\infty$ 时 $x,y,z$ 的模长趋于无穷。
步骤 6/7
目标：推导函数值的下界
因此 $f(\mathbf{r}(T)) \geq f(\mathbf{r}(0)) + cT$。当 $T \to +\infty$ 时，右边趋于 $+\infty$，故 $f(\mathbf{r}(T)) \to +\infty$。
公式：$$f(\mathbf{r}(T)) \geq f(\mathbf{r}(0)) + cT$$
提示：注意 $f(\mathbf{r}(0))$ 是有限常数，$cT$ 趋于无穷，所以函数值趋于无穷。
步骤 7/7
目标：得出结论
当 $(x,y,z)$ 沿给定曲线趋于无穷时，$f(x,y,z) \to +\infty$。
提示：确保曲线参数 $t$ 趋于无穷时，点 $(x,y,z)$ 确实趋于无穷（因为 $z=bt$ 趋于无穷）。
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