北京师范大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{2} n x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察被积函数的形式并引入已知结论
被积函数为 $f_n(x) = \frac{\sin^2(nx)}{1+x^2}$，其中分母 $1+x^2$ 在 $[0,1]$ 上光滑且恒正，分子是快速振荡函数。当 $n$ 很大时，$\sin^2(nx)$ 在一个周期上的平均值为 $1/2$，因此对于连续函数 $g(x)$，有 $\lim_{n\to\infty} \int_a^b g(x) \sin^2(nx) \, dx = \frac12 \int_a^b g(x) \, dx$。这里 $g(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 在 $[0,1]$ 上连续，故可应用此结论。
公式：\lim_{n\to\infty} \int_a^b g(x) \sin^2(nx) \, dx = \frac12 \int_a^b g(x) \, dx
提示：注意该结论要求 $g(x)$ 在区间上连续（或至少可积），且区间长度固定。
步骤 2/5
目标：利用三角恒等式拆分被积函数
将 $\sin^2(nx)$ 写为 $\frac{1 - \cos(2nx)}{2}$，则原积分化为：
$$\int_0^1 \frac{\sin^2(nx)}{1+x^2} \, dx = \frac12 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx - \frac12 \int_0^1 \frac{\cos(2nx)}{1+x^2} \, dx$$
公式：\sin^2(nx) = \frac{1 - \cos(2nx)}{2}
提示：此恒等式是处理平方正弦函数的标准技巧，注意系数不要遗漏。
步骤 3/5
目标：处理含余弦的积分项并应用Riemann-Lebesgue引理
考虑第二项 $\int_0^1 \frac{\cos(2nx)}{1+x^2} \, dx$。由于 $\frac{1}{1+x^2}$ 在 $[0,1]$ 上光滑，由 Riemann-Lebesgue 引理（或分部积分法），当 $n \to \infty$ 时，该积分趋于 $0$。因此，
$$\lim_{n\to\infty} \frac12 \int_0^1 \frac{\cos(2nx)}{1+x^2} \, dx = 0$$
公式：\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{\cos(2nx)}{1+x^2} \, dx = 0
提示：Riemann-Lebesgue引理要求被积函数绝对可积，这里 $\frac{1}{1+x^2}$ 连续，满足条件。
步骤 4/5
目标：计算第一项积分
计算 $\frac12 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$。由于 $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$，所以
$$\frac12 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac12 \left[ \arctan x \right]_0^1 = \frac12 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$$
公式：\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}
提示：注意 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，$\arctan 0 = 0$，计算要准确。
步骤 5/5
目标：取极限得到最终结果
结合以上步骤，原极限为第一项减去第二项的极限，即
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{\sin^2(nx)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8} - 0 = \frac{\pi}{8}$$
公式：\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{\sin^2(nx)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8}
提示：最终结果是一个常数，与 $n$ 无关。
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