北京师范大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．证明：方程 $\displaystyle 3^{x}+7^{x}=2 \cdot 5^{x}$ 的实根只有 0 和 1 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：验证候选根
直接代入验证：当 $x=0$ 时，左边 $3^0+7^0=1+1=2$，右边 $2\cdot5^0=2$，成立；当 $x=1$ 时，左边 $3+7=10$，右边 $2\cdot5=10$，成立。因此 $x=0$ 和 $x=1$ 是方程的两个实根。
公式：$3^0+7^0=2\cdot5^0$，$3^1+7^1=2\cdot5^1$
提示：验证根时注意指数运算规则，$a^0=1$（$a\neq0$）。
步骤 2/4
目标：构造函数并化简
令 $f(x)=3^x+7^x-2\cdot5^x$，则原方程等价于 $f(x)=0$。由于 $5^x>0$ 对所有实数 $x$ 成立，两边除以 $5^x$ 得 $\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{7}{5}\right)^x=2$。定义 $g(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{7}{5}\right)^x$，则原方程等价于 $g(x)=2$。
公式：$g(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{7}{5}\right)^x$
提示：除以正数不改变方程的解，且简化了函数形式，便于分析单调性和凹凸性。
步骤 3/4
目标：分析二阶导数判断凹凸性
计算 $g(x)$ 的一阶导数：$g'(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^x\ln\frac{3}{5}+\left(\frac{7}{5}\right)^x\ln\frac{7}{5}$。由于 $\ln\frac{3}{5}<0$，$\ln\frac{7}{5}>0$，$g'(x)$ 的符号不确定。再计算二阶导数：$g''(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^x\left(\ln\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{7}{5}\right)^x\left(\ln\frac{7}{5}\right)^2$。因为 $\left(\ln\frac{3}{5}\right)^2>0$，$\left(\ln\frac{7}{5}\right)^2>0$，且指数函数恒正，所以 $g''(x)>0$ 对所有实数 $x$ 成立，即 $g(x)$ 是严格凸函数。
公式：$g''(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^x\left(\ln\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{7}{5}\right)^x\left(\ln\frac{7}{5}\right)^2>0$
提示：二阶导数恒正表明函数是严格凸的，这是判断方程根个数的关键。
步骤 4/4
目标：利用凸函数性质证明根的唯一性
严格凸函数 $g(x)$ 的图像是向下弯曲的，因此方程 $g(x)=2$ 最多有两个实根（凸函数与水平线至多有两个交点）。已知 $x=0$ 和 $x=1$ 是 $g(x)=2$ 的两个根，故不可能有第三个实根。因此原方程 $3^x+7^x=2\cdot5^x$ 的实根只有 $x=0$ 和 $x=1$。
公式：凸函数性质：$g(x)=C$ 最多有两个实根
提示：注意严格凸函数与水平线相交时，若有两个交点，则函数在交点之间低于水平线，之外高于水平线，不会再有其他交点。
步骤 5/5
目标：得出结论
原方程 \(3^x+7^x=2\cdot5^x\) 等价于 \(g(x)=2\)，故其实根只有 \(x=0\) 和 \(x=1\)。
公式：3^x+7^x=2\cdot5^x \iff \left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{7}{5}\right)^x=2
提示：注意等价变形中 \(5^x>0\) 恒成立。
步骤 6/6
目标：确认解为0和1，并总结
已验证 $x=0$ 和 $x=1$ 是解，由上述单调性分析知方程 $g(x)=2$ 只有这两个解，从而原方程 $3^x+7^x=2\cdot5^x$ 的实根只有 $x=0$ 和 $x=1$。
公式：3^x+7^x=2\cdot5^x \text{ 的实根为 } x=0,1
提示：注意变形后的方程与原方程等价，解集相同。
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