北京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一、（15 分）证明： $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将级数写成紧凑形式
题目中的级数可以表示为交错调和级数的部分和：
\[ S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2025} - \frac{1}{2026} = \sum_{k=1}^{2026} \frac{(-1)^{k+1}}{k}. \]
这是交错调和级数的前2026项部分和，且项数为偶数。
公式：S = \sum_{k=1}^{2026} \frac{(-1)^{k+1}}{k}
提示：注意交错级数的符号规律：第k项为(-1)^{k+1}/k。
步骤 2/4
目标：利用交错级数的误差估计
对于递减趋于零的交错级数，部分和满足：偶数项部分和从下方逼近极限，奇数项部分和从上方逼近极限。具体地，
\[ S_{2n} < S_{2n+2} < \cdots < \text{极限} < \cdots < S_{2n+1} < S_{2n-1}. \]
这里S = S_{2026}是偶数项部分和，因此它小于级数的极限值ln 2，即
\[ S < \ln 2. \]
公式：S_{2n} < \ln 2 \quad (\text{对任意正整数} n)
提示：交错级数莱布尼茨判别法保证部分和与极限的误差不超过首项绝对值。
步骤 3/4
目标：比较ln 2与√2/2的大小
我们需要证明ln 2 < √2/2。等价于证明2 ln 2 < √2，即ln 4 < √2。由于√2 ≈ 1.4142，ln 4 ≈ 1.3863，显然成立。严格证明可用指数函数：考虑e^{√2/2} > 2。因为√2/2 ≈ 0.7071，而e^{0.7} ≈ 2.0138 > 2，且e^x单调递增，故e^{√2/2} > 2，两边取自然对数得√2/2 > ln 2。
公式：\ln 2 < \frac{\sqrt{2}}{2} \iff e^{\sqrt{2}/2} > 2
提示：比较对数与无理数时，常用指数化或平方化处理。
步骤 4/4
目标：综合得出结论
由第二步和第三步得到：
\[ S < \ln 2 < \frac{\sqrt{2}}{2}, \]
因此原不等式
\[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2025} - \frac{1}{2026} < \frac{\sqrt{2}}{2} \]
成立。
公式：S < \ln 2 < \frac{\sqrt{2}}{2}
提示：注意不等号方向，确保每一步推导正确。
步骤 5/8
目标：比较 $\frac{\pi^2}{8}$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的大小
需要证明 $\frac{\pi^2}{8} < \frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $\pi^2 < 4\sqrt{2}$。计算近似值：$\pi^2 \approx 9.8696$，$4\sqrt{2} \approx 5.65685$，显然 $9.8696 > 5.65685$，这个不等式不成立！说明放缩过松，需要更精细的估计。
公式：$\pi^2 \approx 9.8696, \quad 4\sqrt{2} \approx 5.65685$
提示：放缩必须保证最终结果小于 $\sqrt{2}/2$，否则需要调整方法。
步骤 6/8
目标：改用积分放缩法，直接估计部分和的上界
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在区间上的积分。对于 $k \ge 1$，有 $\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \int_{2k-1}^{2k} \frac{1}{x^2} dx$。因此 $S_{2026} = \sum_{k=1}^{1013} \int_{2k-1}^{2k} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{2026} \frac{1}{x^2} dx - \sum_{j=1}^{1012} \int_{2j}^{2j+1} \frac{1}{x^2} dx$。由于被减去的积分都是正的，所以 $S_{2026} < \int_{1}^{2026} \frac{1}{x^2} dx = 1 - \frac{1}{2026}$。但 $1 - \frac{1}{2026} \approx 0.9995$，远大于 $\sqrt{2}/2$，放缩仍然太粗糙。
公式：$\int_{2k-1}^{2k} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}$
提示：积分放缩需要更巧妙的拆分，不能直接丢掉所有间隔。
步骤 7/8
目标：采用更精确的积分不等式：利用凸性进行放缩
注意到 $\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{(2k-1)(2k)} < \frac{1}{(2k-1)^2}$。考虑积分 $\int_{2k-2}^{2k-1} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{2k-2} - \frac{1}{2k-1}$。将这两个不等式结合：$\frac{1}{(2k-1)(2k)} < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(2k-2)(2k-1)} + \frac{1}{(2k-1)(2k)} \right)$？此路不通。改用经典方法：$S_{2n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k)} < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$（裂项相消）。实际上，$\frac{1}{(2k-1)(2k)} < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ 成立吗？检验：右边通分得 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$，而 $\frac{1}{(2k-1)(2k)} < \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ 显然成立，因为分母更大。因此 $S_{2026} < \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{1013} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2027} \right) = \frac{1013}{2027}$。计算 $\frac{1013}{2027} \approx 0.49975$，这已经小于 $\sqrt{2}/2 \approx 0.7071$，证明完成。
公式：$\frac{1}{(2k-1)(2k)} < \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$
提示：裂项相消是处理此类问题的关键技巧，注意首项和末项的保留。
步骤 8/8
目标：总结并确认不等式成立
由以上推导，$S_{2026} < \frac{1013}{2027} < \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此原不等式成立。实际上 $\frac{1013}{2027} \approx 0.49975$，远小于 $0.7071$，证明简洁有力。
公式：$S_{2026} < \frac{1013}{2027} < \frac{\sqrt{2}}{2}$
提示：注意最后比较时，$\frac{1013}{2027} < \frac{1}{2}$ 是显然的，因为分子小于分母的一半。
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