📝 北京师范大学 2026年数学分析真题

一、（15 分）证明： $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

七、（15 分）设 $\displaystyle \delta \in[0,+\infty)$ ，当参数 $\displaystyle \delta$ 取不同值时，讨论函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin \left(x^{1+\delta} y\right)}{x^{2}+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

的连续性、可微性．

三、（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left[\left(\frac{3 x^{3}-7}{3 x^{3}-x}\right)^{\frac{1}{5}}-x \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]$ ．

九、（15 分）求曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 从 $\displaystyle (1,0)$ 沿着上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 到 $\displaystyle (-1,0)$ ．

二、（15分）设 $\displaystyle f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足对任意的 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(0, a) \leq f(0,0) \leq f(a, 0)$ ．
证明： $\displaystyle \sup _{b \in \mathbb{R}} \inf _{a \in \mathbb{R}} f(a, b)=\inf _{a \in \mathbb{R}} \sup _{b \in \mathbb{R}} f(a, b)$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上是非负的单调递减函数，记 $\displaystyle x_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(t) \mathrm{d} t$ ．
证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。

八、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且满足：

$$
f(t)=t+\frac{1}{4 \pi} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} \frac{f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

其中 $\displaystyle t \in[0,+\infty)$ ，求 $\displaystyle f(t)$ ．

六、（15分）计算广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\{x\}}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle \{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分．例如：$\displaystyle \{\pi\}=\pi-3$ ．

十、（15分）在空间直角坐标系中，已知方程 $\displaystyle \cos (3 x+2 z)=h(4 y-z)$ 且函数 $h$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可微，证明：上述方程表示空间中的一个柱面．

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四、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n x)}{\sqrt{n^{3}+n}}$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续．
（2）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{15}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．