北京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二、（15分）设 $\displaystyle f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足对任意的 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(0, a) \leq f(0,0) \leq f(a, 0)$ ．
证明： $\displaystyle \sup _{b \in \mathbb{R}} \inf _{a \in \mathbb{R}} f(a, b)=\inf _{a \in \mathbb{R}} \sup _{b \in \mathbb{R}} f(a, b)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件和目标
已知对任意实数 $a$，有 $f(0, a) \leq f(0,0) \leq f(a, 0)$。这意味着在 $x=0$ 这条线上，函数值不超过 $f(0,0)$；在 $y=0$ 这条线上，函数值不小于 $f(0,0)$。需要证明：$\sup_{b \in \mathbb{R}} \inf_{a \in \mathbb{R}} f(a,b) = \inf_{a \in \mathbb{R}} \sup_{b \in \mathbb{R}} f(a,b)$。
公式：f(0, a) \leq f(0,0) \leq f(a, 0)
提示：注意条件对任意 $a$ 成立，因此可以取特殊值来构造不等式。
步骤 2/6
目标：回顾一般不等式
对于任意二元函数 $f(a,b)$，总有 $\sup_{b} \inf_{a} f(a,b) \leq \inf_{a} \sup_{b} f(a,b)$。证明：对任意固定的 $a_0$ 和 $b_0$，有 $\inf_a f(a,b_0) \leq f(a_0,b_0) \leq \sup_b f(a_0,b)$，先取 $\sup_{b_0}$ 得左边 $\leq \sup_{b_0} f(a_0,b_0)$，再取 $\inf_{a_0}$ 得左边 $\leq \inf_{a_0} \sup_{b_0} f(a_0,b_0)$。因此只需证明反向不等式。
公式：\sup_{b} \inf_{a} f(a,b) \leq \inf_{a} \sup_{b} f(a,b)
提示：这是极小极大不等式的一般形式，通常反向不成立，需要额外条件。
步骤 3/6
目标：利用条件估计左边
设 $L = \sup_{b \in \mathbb{R}} \inf_{a \in \mathbb{R}} f(a,b)$。对任意 $b$，由下确界性质，$\inf_a f(a,b) \leq f(0,b)$。因此 $L \leq \sup_b f(0,b)$。再由条件 $f(0,b) \leq f(0,0)$ 对所有 $b$ 成立，得 $\sup_b f(0,b) \leq f(0,0)$。所以 $L \leq f(0,0)$。
公式：L \leq \sup_b f(0,b) \leq f(0,0)
提示：注意 $\sup_b f(0,b)$ 的上界是 $f(0,0)$，因为条件对所有 $b$ 成立。
步骤 4/6
目标：利用条件估计右边
设 $R = \inf_{a \in \mathbb{R}} \sup_{b \in \mathbb{R}} f(a,b)$。对任意 $a$，由上确界性质，$\sup_b f(a,b) \geq f(a,0)$。因此 $R \geq \inf_a f(a,0)$。再由条件 $f(a,0) \geq f(0,0)$ 对所有 $a$ 成立，得 $\inf_a f(a,0) \geq f(0,0)$。所以 $R \geq f(0,0)$。
公式：R \geq \inf_a f(a,0) \geq f(0,0)
提示：注意 $\inf_a f(a,0)$ 的下界是 $f(0,0)$，因为条件对所有 $a$ 成立。
步骤 5/6
目标：结合不等式得到等式
由前两步得到 $L \leq f(0,0) \leq R$，又由一般不等式 $L \leq R$ 总是成立，但这里我们实际上有 $L \leq f(0,0) \leq R$，结合 $L \leq R$ 并不能直接推出相等。然而，我们还需要反向不等式：由一般不等式 $L \leq R$ 是已知的，而这里我们推导出 $L \leq f(0,0) \leq R$，但并未得到 $L \geq R$。实际上，我们需要证明 $L \geq R$。重新审视：由条件，对任意 $a,b$ 有 $f(0,b) \leq f(0,0) \leq f(a,0)$。取 $b$ 任意，$\inf_a f(a,b) \leq f(0,b) \leq f(0,0)$，所以 $L = \sup_b \inf_a f(a,b) \leq f(0,0)$。取 $a$ 任意，$\sup_b f(a,b) \geq f(a,0) \geq f(0,0)$，所以 $R = \inf_a \sup_b f(a,b) \geq f(0,0)$。因此 $L \leq f(0,0) \leq R$，但一般不等式 $L \leq R$ 已经蕴含了 $L \leq R$，而这里 $L \leq f(0,0) \leq R$ 实际上给出了更强的条件：$L \leq R$ 且 $L \leq f(0,0) \leq R$。然而，我们还需要证明 $L \geq R$ 才能得到等式。实际上，由一般不等式 $L \leq R$ 是恒成立的，而这里我们又有 $L \leq f(0,0) \leq R$，这并不能推出 $L = R$，除非 $f(0,0)$ 同时是 $L$ 和 $R$ 的界。但注意：我们实际上可以证明 $L \geq R$ 吗？不，一般不等式是 $L \leq R$，所以 $L \geq R$ 不可能成立除非相等。因此，我们实际上已经得到 $L \leq R$ 和 $L \leq f(0,0) \leq R$，但这不足以推出 $L = R$。我们需要重新检查：实际上，由条件我们可以得到 $L \geq R$ 吗？考虑任意 $a,b$，有 $f(0,b) \leq f(0,0) \leq f(a,0)$。那么 $\inf_a f(a,b) \leq f(0,b) \leq f(0,0)$，所以 $L \leq f(0,0)$。而 $\sup_b f(a,b) \geq f(a,0) \geq f(0,0)$，所以 $R \geq f(0,0)$。因此 $L \leq f(0,0) \leq R$。但一般不等式是 $L \leq R$，所以实际上 $L \leq R$ 是自动成立的，而这里 $L \leq f(0,0) \leq R$ 意味着 $L$ 和 $R$ 被 $f(0,0)$ 隔开，但并不能推出 $L = R$。然而，题目要求证明 $L = R$，这意味着我们需要证明 $L \geq R$ 也成立。但 $L \geq R$ 是否成立？考虑特殊值：取 $b=0$，则 $\inf_a f(a,0) \leq f(0,0)$，但 $L = \sup_b \inf_a f(a,b) \geq \inf_a f(a,0)$，所以 $L \geq \inf_a f(a,0)$。而由条件 $f(a,0) \geq f(0,0)$，所以 $\inf_a f(a,0) \geq f(0,0)$，因此 $L \geq f(0,0)$。类似地，取 $a=0$，则 $\sup_b f(0,b) \geq f(0,0)$，而 $R = \inf_a \sup_b f(a,b) \leq \sup_b f(0,b)$，所以 $R \leq \sup_b f(0,b)$。由条件 $f(0,b) \leq f(0,0)$，得 $\sup_b f(0,b) \leq f(0,0)$，因此 $R \leq f(0,0)$。结合得到 $L \geq f(0,0) \geq R$，即 $L \geq R$。于是 $L \leq R$ 和 $L \geq R$ 同时成立，故 $L = R$。
公式：L \geq \inf_a f(a,0) \geq f(0,0) \geq \sup_b f(0,b) \geq R
提示：注意这里需要同时利用 $b=0$ 和 $a=0$ 的特殊取值来得到反向不等式，避免只得到单向估计。
步骤 6/6
目标：总结结论
由 $L \leq R$ 和 $L \geq R$ 得 $L = R$，即 $\sup_{b \in \mathbb{R}} \inf_{a \in \mathbb{R}} f(a,b) = \inf_{a \in \mathbb{R}} \sup_{b \in \mathbb{R}} f(a,b)$。证毕。
公式：\sup_{b} \inf_{a} f(a,b) = \inf_{a} \sup_{b} f(a,b)
提示：关键步骤是利用条件构造 $L \geq f(0,0) \geq R$ 和 $L \leq f(0,0) \leq R$ 同时成立，从而得到相等。
步骤 7/8
目标：利用条件推导右边下界
由条件 $f(0,0) \leq f(a,0)$ 对所有 $a$ 成立，对任意固定的 $a$，有 $\sup_b f(a,b) \geq f(a,0) \geq f(0,0)$。于是 $\inf_a \sup_b f(a,b) \geq f(0,0)$。
公式：\inf_{a} \sup_{b} f(a,b) \geq f(0,0)
提示：注意下确界不小于最小值，每个 $\sup_b f(a,b)$ 都不小于 $f(0,0)$。
步骤 8/8
目标：推导右边等于 f(0,0) 并完成证明
结合第6步和第7步，得到 $f(0,0) \leq \inf_a \sup_b f(a,b) \leq f(0,0)$，因此 $\inf_a \sup_b f(a,b) = f(0,0)$。由第5步，$\sup_b \inf_a f(a,b) = f(0,0)$，故等式成立。
公式：\sup_{b} \inf_{a} f(a,b) = \inf_{a} \sup_{b} f(a,b) = f(0,0)
提示：两边都等于 $f(0,0)$，无需使用一般不等式。
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