北京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left[\left(\frac{3 x^{3}-7}{3 x^{3}-x}\right)^{\frac{1}{5}}-x \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简第一个项：处理分式并展开
考虑第一个项 $\left(\frac{3x^3 - 7}{3x^3 - x}\right)^{1/5}$，当 $x \to +\infty$ 时，分子分母提取 $3x^3$：
$$
\frac{3x^3 - 7}{3x^3 - x} = \frac{1 - \frac{7}{3x^3}}{1 - \frac{1}{3x^2}}
$$
对分母使用展开 $\frac{1}{1-t} = 1 + t + t^2 + \cdots$，其中 $t = \frac{1}{3x^2}$，得：
$$
\frac{1}{1 - \frac{1}{3x^2}} = 1 + \frac{1}{3x^2} + \frac{1}{9x^4} + \cdots
$$
相乘并保留到 $1/x^3$ 项：
$$
\frac{3x^3 - 7}{3x^3 - x} = 1 + \frac{1}{3x^2} - \frac{7}{3x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)
$$
公式：\frac{3x^3 - 7}{3x^3 - x} = 1 + \frac{1}{3x^2} - \frac{7}{3x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)
提示：注意展开时需保留足够阶数，因为后续要开五次方并乘以 $x^2$，需确保 $1/x^2$ 项准确。
步骤 2/5
目标：对第一个项开五次方
利用 $(1+u)^{1/5} = 1 + \frac{u}{5} - \frac{2u^2}{25} + \cdots$，其中 $u = \frac{1}{3x^2} - \frac{7}{3x^3} + \cdots$。取到 $1/x^2$ 项，$u \approx \frac{1}{3x^2}$，则：
$$
\left(\frac{3x^3-7}{3x^3-x}\right)^{1/5} = 1 + \frac{1}{15x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
$$
更高阶项（如 $1/x^3$）乘以 $x^2$ 后趋于0，故忽略。
公式：\left(\frac{3x^3-7}{3x^3-x}\right)^{1/5} = 1 + \frac{1}{15x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
提示：开方展开时，注意 $u$ 中 $1/x^3$ 项对 $1/x^2$ 项无贡献，但需确认无 $1/x$ 项。
步骤 3/5
目标：处理第二个项：展开 $x \sin(1/x)$
令 $t = 1/x \to 0^+$，则 $x \sin(1/x) = \frac{\sin t}{t}$。利用 $\sin t$ 的泰勒展开：
$$
\frac{\sin t}{t} = 1 - \frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} - \cdots
$$
代回 $t = 1/x$，得：
$$
x \sin(1/x) = 1 - \frac{1}{6x^2} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)
$$
公式：x \sin(1/x) = 1 - \frac{1}{6x^2} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)
提示：注意 $\sin t$ 展开的符号和系数，避免与 $1/x^2$ 项混淆。
步骤 4/5
目标：计算两个项的差
将前两步结果相减：
$$
\left(\frac{3x^3-7}{3x^3-x}\right)^{1/5} - x\sin(1/x) = \left(1 + \frac{1}{15x^2} + \cdots\right) - \left(1 - \frac{1}{6x^2} + \cdots\right)
$$
常数项抵消，得：
$$
= \frac{1}{15x^2} + \frac{1}{6x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{7}{30x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
$$
公式：\left(\frac{3x^3-7}{3x^3-x}\right)^{1/5} - x\sin(1/x) = \frac{7}{30x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
提示：相减时注意符号：减去 $1 - \frac{1}{6x^2}$ 等于 $-1 + \frac{1}{6x^2}$，再与 $1$ 相加。
步骤 5/5
目标：乘以 $x^2$ 并求极限
原极限为：
$$
\lim_{x\to+\infty} x^2 \cdot \left( \frac{7}{30x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) = \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{7}{30} + o(1) \right) = \frac{7}{30}
$$
公式：\lim_{x\to+\infty} x^2 \left[ \left(\frac{3x^3-7}{3x^3-x}\right)^{1/5} - x\sin(1/x) \right] = \frac{7}{30}
提示：确保 $o(1/x^2)$ 项乘以 $x^2$ 后趋于0，极限只取决于主项。
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