北京师范大学 2026年数学分析第0题

函数在原点定义为0，因此连续性等价于极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$f(x,y)=\frac{\sin(x^{1+\delta}y)}{x^2+y^2}$。利用不等式 $|\sin t|\le |t|$ 得到 $|f(x,y)|\le \frac{|x^{1+\delta}y|}{x^2+y^2}$。

令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则 $\frac{|x^{1+\delta}y|}{x^2+y^2}=r^{\delta}|\cos^{1+\delta}\theta\sin\theta|$。当 $\delta>0$ 时，$r^\delta\to0$，且三角函数部分有界，因此极限为0，函数连续。当 $\delta=0$ 时，上界为 $|\cos\theta\sin\theta|$，不趋于0，需另寻路径。

取路径 $y=x$，则 $f(x,x)=\frac{\sin(x^2)}{2x^2}\to\frac12\neq0$，因此极限不为0，函数在原点不连续。

当 $\delta>0$ 时，函数在原点连续；当 $\delta=0$ 时，函数在原点不连续。

由定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}=0$（因为 $y=0$ 时分子为0）；同理 $f_y(0,0)=0$。因此一阶偏导存在且均为0。

可微性要求 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入已知得 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\sin(h^{1+\delta}k)}{(h^2+k^2)^{3/2}}=0$。

利用 $|\sin t|\le|t|$ 放缩：$\frac{|\sin(h^{1+\delta}k)|}{(h^2+k^2)^{3/2}}\le\frac{|h|^{1+\delta}|k|}{(h^2+k^2)^{3/2}}$。令 $h=r\cos\theta$, $k=r\sin\theta$，得 $r^{\delta-1}|\cos^{1+\delta}\theta\sin\theta|$。当 $r\to0$ 时，该式趋于0的条件是 $\delta-1>0$，即 $\delta>1$。

当 $\delta>1$ 时，函数在原点可微；当 $0<\delta\le1$ 时，不可微（$\delta=0$ 时不连续，自然不可微）。