北京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）求曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 从 $\displaystyle (1,0)$ 沿着上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 到 $\displaystyle (-1,0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：检查向量场是否为保守场
记 $P = \frac{x-y}{x^2+4y^2}$, $Q = \frac{x+4y}{x^2+4y^2}$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{x^2+4y^2} - \frac{8y(x-y)}{(x^2+4y^2)^2} = \frac{-x^2-8xy+4y^2}{(x^2+4y^2)^2}$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{x^2+4y^2} - \frac{2x(x+4y)}{(x^2+4y^2)^2} = \frac{-x^2-8xy+4y^2}{(x^2+4y^2)^2}$
两者相等，故向量场在除去原点的区域是保守的。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：注意分母为 $x^2+4y^2$，不是 $x^2+y^2$，需仔细计算偏导并通分比较。
步骤 2/6
目标：选择参数化路径并代入积分
由于路径 $L$ 是上半圆周 $x^2+y^2=1$，取参数化：$x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$, $\theta: 0 \to \pi$。则 $dx = -\sin\theta\, d\theta$, $dy = \cos\theta\, d\theta$。分母化为 $x^2+4y^2 = \cos^2\theta + 4\sin^2\theta = 1+3\sin^2\theta$。分子计算：$(x-y)dx + (x+4y)dy = (\cos\theta-\sin\theta)(-\sin\theta d\theta) + (\cos\theta+4\sin\theta)(\cos\theta d\theta) = (1+3\sin\theta\cos\theta)d\theta$。于是积分化为 $I = \int_0^\pi \frac{1+3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} d\theta$。
公式：$I = \int_0^\pi \frac{1+3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} d\theta$
提示：参数化时注意 $\theta$ 的范围是从 $0$ 到 $\pi$，对应从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的上半圆。
步骤 3/6
目标：拆分积分并化简
将积分拆分为两项：
$I = \int_0^\pi \frac{1}{1+3\sin^2\theta} d\theta + \int_0^\pi \frac{3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} d\theta$。
对于第二项，注意到被积函数关于 $\theta = \pi/2$ 是奇对称（因为 $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$, $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$），故积分值为 $0$。因此 $I = \int_0^\pi \frac{d\theta}{1+3\sin^2\theta}$。
公式：$\int_0^\pi \frac{3\sin\theta\cos\theta}{1+3\sin^2\theta} d\theta = 0$
提示：利用对称性判断第二项积分为零，避免复杂换元。
步骤 4/6
目标：利用对称性化简积分区间
由于被积函数 $\frac{1}{1+3\sin^2\theta}$ 关于 $\theta = \pi/2$ 对称，有 $\int_0^\pi \frac{d\theta}{1+3\sin^2\theta} = 2\int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{1+3\sin^2\theta}$。
公式：$\int_0^\pi f(\theta) d\theta = 2\int_0^{\pi/2} f(\theta) d\theta$，当 $f(\pi-\theta)=f(\theta)$
提示：确认被积函数的对称性后再使用此性质。
步骤 5/6
目标：使用万能代换计算积分
令 $t = \tan\theta$，则 $\theta: 0 \to \pi/2$ 对应 $t: 0 \to \infty$，且 $\sin^2\theta = \frac{t^2}{1+t^2}$, $d\theta = \frac{dt}{1+t^2}$。代入得：
$\int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{1+3\sin^2\theta} = \int_0^\infty \frac{1}{1+3\frac{t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^\infty \frac{dt}{1+4t^2}$。
公式：$\int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{1+3\sin^2\theta} = \int_0^\infty \frac{dt}{1+4t^2}$
提示：万能代换 $t=\tan\theta$ 适用于 $\int_0^{\pi/2}$ 型积分，注意 $d\theta$ 的变换。
步骤 6/6
目标：计算最终积分并得到结果
计算 $\int_0^\infty \frac{dt}{1+4t^2} = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{d(2t)}{1+(2t)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。因此 $\int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{1+3\sin^2\theta} = \frac{\pi}{4}$，从而 $I = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_0^\infty \frac{dt}{1+a^2 t^2} = \frac{\pi}{2a}$（$a>0$）
提示：注意积分限从 $0$ 到 $\infty$，使用反正切函数求值。
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