北京师范大学 2026年数学分析第0题

对于任意实数 $x \ge 1$，小数部分定义为 $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$，其中 $\lfloor x \rfloor$ 是取整函数。将积分区间按整数分段： $$\int_{1}^{+\infty} \frac{\{x\}}{x^3} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{x - n}{x^3} \, dx$$

对于固定的 $n \ge 1$，计算 $$I_n = \int_{n}^{n+1} \frac{x - n}{x^3} \, dx = \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^2} \, dx - n \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^3} \, dx$$ 分别积分得： $$\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{n}^{n+1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$ $$\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^3} \, dx = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_{n}^{n+1} = \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{2(n+1)^2}$$ 代入得： $$I_n = \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) - n\left(\frac{1}{2n^2} - \frac{1}{2(n+1)^2}\right) = \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{n}{2(n+1)^2}$$

将 $\frac{n}{2(n+1)^2}$ 改写： $$\frac{n}{2(n+1)^2} = \frac{n+1-1}{2(n+1)^2} = \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+1)^2}$$ 代入 $I_n$ 得： $$I_n = \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+1)^2}$$ 合并含 $\frac{1}{n+1}$ 的项： $$-\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+1)} = -\frac{1}{2(n+1)}$$ 因此： $$I_n = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+1)^2}$$

原积分 $S = \sum_{n=1}^{\infty} I_n$，分为两部分： 第一部分： $$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+1)} \right)$$ 这是 telescoping series（裂项相消），前 $N$ 项和为 $\frac12 - \frac{1}{2(N+1)}$，当 $N \to \infty$ 时趋于 $\frac12$。

第二部分： $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(n+1)^2} = \frac12 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2}$$ 已知 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$，所以 $$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1$$ 因此第二部分和为： $$\frac12 \left( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right) = \frac{\pi^2}{12} - \frac12$$

原积分 $S =$ 第一部分 $-$ 第二部分： $$S = \frac12 - \left( \frac{\pi^2}{12} - \frac12 \right) = \frac12 - \frac{\pi^2}{12} + \frac12 = 1 - \frac{\pi^2}{12}$$ 因此广义积分的值为： $$\boxed{1 - \frac{\pi^2}{12}}$$