北京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上是非负的单调递减函数，记 $\displaystyle x_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(t) \mathrm{d} t$ ．
证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出数列定义并分析相邻项差值的符号
已知 $x_n = \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(t)\,dt$，计算 $x_{n+1} - x_n$：
\[
x_{n+1} - x_n = f(n+1) - \int_n^{n+1} f(t)\,dt.
\]
由于 $f$ 在 $[n, n+1]$ 上单调递减，因此对任意 $t \in [n, n+1]$ 有 $f(t) \ge f(n+1)$，从而
\[
\int_n^{n+1} f(t)\,dt \ge \int_n^{n+1} f(n+1)\,dt = f(n+1).
\]
代入得 $x_{n+1} - x_n \le 0$，故数列 $\{x_n\}$ 单调递减。
公式：x_{n+1} - x_n = f(n+1) - \int_n^{n+1} f(t)\,dt \le 0
提示：注意利用单调性比较函数值与积分值的大小，这是判断单调性的关键。
步骤 2/4
目标：证明数列有下界
由于 $f$ 非负且单调递减，对每个整数 $k \ge 1$，在区间 $[k, k+1]$ 上有 $f(k) \ge f(t)$，从而
\[
f(k) \ge \int_k^{k+1} f(t)\,dt.
\]
对 $k=1$ 到 $n-1$ 求和得
\[
\sum_{k=1}^{n-1} f(k) \ge \int_1^n f(t)\,dt.
\]
于是
\[
x_n = \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(t)\,dt = f(n) + \left(\sum_{k=1}^{n-1} f(k) - \int_1^n f(t)\,dt\right) \ge f(n) \ge 0.
\]
因此数列 $\{x_n\}$ 有下界 $0$。
公式：x_n \ge f(n) \ge 0
提示：下界的构造需要将求和拆出一项 $f(n)$，利用前 $n-1$ 项与积分的比较得到非负性。
步骤 3/4
目标：应用单调有界收敛定理
由前两步已证：
- $\{x_n\}$ 单调递减；
- $\{x_n\}$ 有下界（例如 $0$）。
根据实数系中的单调有界收敛定理，单调递减且有下界的数列必收敛。因此 $\{x_n\}$ 收敛。
公式：\lim_{n \to \infty} x_n \text{ 存在且有限}
提示：单调有界准则是证明数列收敛的常用方法，注意检查单调性和有界性两个条件。
步骤 4/4
目标：说明极限的意义（可选）
该极限值 $\lim_{n\to\infty} x_n$ 表示级数 $\sum_{k=1}^\infty f(k)$ 与反常积分 $\int_1^\infty f(t)\,dt$ 的差值。由于 $f$ 非负单调递减，该差值为有限常数，且介于 $0$ 与 $f(1)$ 之间。这一结论与积分判别法中的余项估计一致。
公式：0 \le \lim_{n\to\infty} x_n \le f(1)
提示：极限的具体值一般无法直接求出，但可以知道它非负且不超过 $f(1)$。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，数列 $\{x_n\}$ 收敛，证毕。
提示：本题的关键是利用函数的单调性构造不等式，从而得到单调性和有界性。
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