北京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且满足：
$$
f(t)=t+\frac{1}{4 \pi} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} \frac{f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle t \in[0,+\infty)$ ，求 $\displaystyle f(t)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将三重积分化为球坐标形式
积分区域为球体 $x^2+y^2+z^2 \le t^2$，被积函数仅依赖于径向距离 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。使用球坐标变换：$x = r\sin\theta\cos\varphi$，$y = r\sin\theta\sin\varphi$，$z = r\cos\theta$，体积元 $dV = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\varphi$。代入被积函数 $\frac{f(r)}{r^2}$，得：
$$
\iiint_{r \le t} \frac{f(r)}{r^2} \cdot r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\varphi = \iiint_{r \le t} f(r) \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\varphi
$$
对角度部分积分：$\int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$，因此三重积分化为 $4\pi \int_0^t f(r) \, dr$。
公式：\iiint_{x^2+y^2+z^2 \le t^2} \frac{f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{x^2+y^2+z^2} \, dx\,dy\,dz = 4\pi \int_0^t f(r) \, dr
提示：注意球坐标中 $r^2$ 与分母约去，简化积分；角度积分结果 $4\pi$ 是球面面积，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：代入原方程并简化
原方程为 $f(t) = t + \frac{1}{4\pi} \iiint_{x^2+y^2+z^2 \le t^2} \frac{f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{x^2+y^2+z^2} \, dx\,dy\,dz$。将上一步结果代入，得：
$$
f(t) = t + \frac{1}{4\pi} \cdot 4\pi \int_0^t f(r) \, dr = t + \int_0^t f(r) \, dr
$$
这是一个关于 $f(t)$ 的积分方程。
公式：f(t) = t + \int_0^t f(r) \, dr
提示：积分变量 $r$ 是哑变量，可替换为任意字母，注意积分上限 $t$ 与自变量 $t$ 一致。
步骤 3/6
目标：转化为微分方程
对简化后的方程 $f(t) = t + \int_0^t f(r) \, dr$ 两边关于 $t$ 求导。由微积分基本定理，$\frac{d}{dt} \int_0^t f(r) \, dr = f(t)$，因此：
$$
f'(t) = 1 + f(t)
$$
这是一个一阶线性常微分方程。
公式：f'(t) = 1 + f(t)
提示：求导时注意 $f$ 连续保证可微性；不要忘记常数项 $t$ 的导数为 $1$。
步骤 4/6
目标：解微分方程
方程 $f'(t) - f(t) = 1$。先求齐次解：$f_h(t) = C e^t$。再求特解：设常数 $A$，代入得 $-A = 1$，故 $A = -1$。通解为：
$$
f(t) = C e^t - 1
$$
公式：f(t) = C e^t - 1
提示：一阶线性微分方程可用积分因子法或分离变量法，这里用待定系数法求特解更快捷。
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定常数
在原方程中令 $t=0$：左边 $f(0)$，右边积分区域退化为一点，积分为 $0$，故 $f(0) = 0$。代入通解：
$$
0 = C e^0 - 1 \Rightarrow C = 1
$$
因此 $f(t) = e^t - 1$。
公式：f(0) = 0 \Rightarrow C = 1
提示：初始条件来自原方程在 $t=0$ 时的退化情况，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：验证解的正确性
将 $f(t) = e^t - 1$ 代入原方程验证：计算 $\int_0^t (e^r - 1) \, dr = (e^t - 1) - t$，则 $t + \int_0^t f(r) \, dr = t + (e^t - 1 - t) = e^t - 1 = f(t)$，满足方程。
公式：t + \int_0^t (e^r - 1) \, dr = e^t - 1
提示：验证是确保解正确的重要步骤，尤其注意积分计算不要出错。
步骤 7/7
目标：验证解的正确性
将 $f(t) = e^t - 1$ 代入原方程右边：
$$t + \int_0^t (e^r - 1) \, \mathrm{d}r = t + [e^r - r]_0^t = t + (e^t - t - 1) = e^t - 1$$
与左边 $f(t)$ 一致，验证正确。
公式：t + \int_0^t (e^r - 1) \, \mathrm{d}r = e^t - 1
提示：验证是确保解无误的重要步骤。
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