北京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十、（15分）在空间直角坐标系中，已知方程 $\displaystyle \cos (3 x+2 z)=h(4 y-z)$ 且函数 $h$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可微，证明：上述方程表示空间中的一个柱面．
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确柱面的几何特征与判定方法
在三维空间中，柱面是由一条直线（母线）沿一条曲线（准线）平行移动生成的曲面。若存在非零常向量 $\mathbf{v} = (a, b, c)$，使得对任意实数 $t$，若点 $(x, y, z)$ 满足方程，则点 $(x+at, y+bt, z+ct)$ 也满足方程，则曲面沿方向 $\mathbf{v}$ 平移不变，即为柱面，$\mathbf{v}$ 为母线方向。
公式：曲面沿 $\mathbf{v}$ 平移不变 $\Leftrightarrow$ 方程在变换 $(x,y,z)\to(x+at,y+bt,z+ct)$ 下形式不变
提示：关键在于寻找一个方向，使得方程中的两个独立变量组合在该方向上保持不变。
步骤 2/6
目标：分析方程结构，引入新变量
原方程为 $\cos(3x+2z) = h(4y-z)$。令 $u = 3x+2z$，$v = 4y-z$，则方程化为 $\cos u = h(v)$。方程仅依赖于 $u$ 和 $v$，不显含第三个独立方向。
公式：$u = 3x+2z$，$v = 4y-z$，方程化为 $\cos u = h(v)$
提示：注意 $u$ 和 $v$ 是 $x,y,z$ 的线性组合，这提示我们寻找使 $u$ 和 $v$ 同时不变的方向。
步骤 3/6
目标：建立方向向量满足的条件方程组
设母线方向为 $\mathbf{v} = (a, b, c)$。沿此方向移动时，$u$ 的变化量为 $\Delta u = 3a + 2c$，$v$ 的变化量为 $\Delta v = 4b - c$。为使 $u$ 和 $v$ 均不变，需 $\Delta u = 0$ 且 $\Delta v = 0$，即得方程组：
$$
\begin{cases}
3a + 2c = 0 \\
4b - c = 0
\end{cases}
$$
公式：$\begin{cases} 3a+2c=0 \\ 4b-c=0 \end{cases}$
提示：这是线性齐次方程组，必有非零解，说明存在非零方向。
步骤 4/6
目标：求解方向向量
由 $4b - c = 0$ 得 $c = 4b$。代入 $3a + 2c = 0$ 得 $3a + 8b = 0$，即 $a = -\frac{8}{3}b$。取 $b=3$（为消去分母），得 $a = -8$，$c = 12$。因此一个非零方向向量为 $\mathbf{v} = (-8, 3, 12)$。
公式：$\mathbf{v} = (-8, 3, 12)$
提示：方向向量不唯一，可乘以任意非零常数，但此解最简洁。
步骤 5/6
目标：验证平移不变性
沿 $\mathbf{v}=(-8,3,12)$ 方向移动任意距离 $t$，新坐标为 $(x-8t,\; y+3t,\; z+12t)$。计算新变量：
$$
u' = 3(x-8t) + 2(z+12t) = 3x - 24t + 2z + 24t = 3x+2z = u,
$$
$$
v' = 4(y+3t) - (z+12t) = 4y + 12t - z - 12t = 4y - z = v.
$$
$u$ 和 $v$ 均不变，故方程 $\cos u = h(v)$ 仍然成立。
公式：$u' = u$，$v' = v$
提示：验证时注意线性项抵消，这是由方向向量满足方程组保证的。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在非零方向 $\mathbf{v}=(-8,3,12)$，使得曲面沿该方向平移不变，根据柱面的几何特征，该方程表示一个柱面，母线方向为 $(-8,3,12)$。
公式：方程 $\cos(3x+2z)=h(4y-z)$ 表示母线方向为 $(-8,3,12)$ 的柱面
提示：柱面的准线可以是 $u$-$v$ 平面上的任意曲线，此处由 $\cos u = h(v)$ 隐含确定。
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