北京科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．计算积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察被积函数并尝试变量替换
令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $dx = -dt$。当 $x = \frac{\pi}{6}$ 时，$t = \frac{\pi}{3}$；当 $x = \frac{\pi}{3}$ 时，$t = \frac{\pi}{6}$。分母中：$x = \frac{\pi}{2} - t$，$\pi - 2x = 2t$；分子：$\cos^2 x = \sin^2 t$。原积分变为：
$$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} dx = \int_{\pi/3}^{\pi/6} \frac{\sin^2 t}{(\frac{\pi}{2} - t)(2t)} (-dt) = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^2 t}{(\frac{\pi}{2} - t)(2t)} dt$$
公式：$t = \frac{\pi}{2} - x$
提示：注意积分限的交换和负号的处理，最终得到与原始积分形式对称的表达式。
步骤 2/5
目标：将两个积分形式相加
将原积分 $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} dx$ 与变换后的积分 $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^2 x}{(\frac{\pi}{2} - x)(2x)} dx$（变量重命名为 $x$）相加，得：
$$2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left[ \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} + \frac{\sin^2 x}{(\frac{\pi}{2} - x)(2x)} \right] dx$$
公式：$2I = \int \left( \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} + \frac{\sin^2 x}{(\frac{\pi}{2} - x)(2x)} \right) dx$
提示：注意两个积分表达式中的分母形式不同，需要后续统一。
步骤 3/5
目标：统一分母并简化
注意到 $\pi-2x = 2(\frac{\pi}{2} - x)$，因此第一个分母 $x(\pi-2x) = 2x(\frac{\pi}{2} - x)$，与第二个分母相同。于是：
$$2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{2x(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{2x(\frac{\pi}{2} - x)} dx$$
所以
$$I = \frac{1}{4} \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{x(\frac{\pi}{2} - x)} dx$$
公式：$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
提示：分母统一后，分子简化为1，大大简化了积分。
步骤 4/5
目标：裂项积分
利用部分分式：
$$\frac{1}{x(\frac{\pi}{2} - x)} = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x} \right)$$
代入得：
$$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x} \right) dx = \frac{1}{2\pi} \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x} \right) dx$$
公式：$\frac{1}{x(\frac{\pi}{2} - x)} = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x} \right)$
提示：裂项时注意系数 $\frac{2}{\pi}$ 的推导，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：计算定积分并得出结果
计算两个积分：
$$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{x} dx = \ln x \Big|_{\pi/6}^{\pi/3} = \ln \frac{\pi/3}{\pi/6} = \ln 2$$
对于第二项，令 $u = \frac{\pi}{2} - x$，则 $dx = -du$，积分限互换后得：
$$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x} dx = \int_{\pi/3}^{\pi/6} \frac{1}{u} (-du) = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{u} du = \ln 2$$
因此两项之和为 $2\ln 2$，所以
$$I = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\ln 2 = \frac{\ln 2}{\pi}$$
公式：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
提示：第二项积分通过变量替换转化为与第一项相同的形式，注意积分限的变化。
步骤 6/6
目标：合并结果得到原积分值
将两个积分结果代入：
$$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{x(\pi - 2x)} dx = \frac{1}{\pi} \cdot \ln 2 + \frac{2}{\pi} \cdot \frac12 \ln 2 = \frac{\ln 2}{\pi} + \frac{\ln 2}{\pi} = \frac{2\ln 2}{\pi}.$$
由 $2I = \frac{2\ln 2}{\pi}$，得 $I = \frac{\ln 2}{\pi}$。
公式：$I = \frac{\ln 2}{\pi}$
提示：最后一步不要忘记除以2。
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