📝 北京科技大学 2025年数学分析真题

1．设数列 $\displaystyle a_{n}=\frac{\sum_{k=0}^{n} \ln C_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\frac{1}{2}$ ．

2．计算积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．

3．设两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的定义如下：

$$
a_{1}=3, b_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, n=1,2, \cdots
$$

而数列 $\displaystyle c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$ ．

4．讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 在 $0 \leq \alpha<+\infty$（ $p>0$ 是常数）的一致收敛性．

七．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在单位圆 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(0,1)=f(1,0)$ ，证明：在单位圆上至少有两点满足方程 $\displaystyle y \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)=x \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ ．

三．（15 分）证明不等式：
（1）$\displaystyle \sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}>\ln t(t>1)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k^{2}+k}}>\ln (1+n)\left(n \in \mathbb{N}^{+}\right)$．

九．（10分）计算二重积分

$$
\iint_{D}(x \sin \alpha-y \cos \alpha)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

这里 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right., a>0, b>0\right\}, \alpha$ 为常数．

二．（15 分）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．

五．（15 分）证明：
（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 x^{2}}{1+n^{3} x^{4}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛．
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1+n^{4} x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但非一致收敛．

八．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 是不含原点的有界闭区域，其体积为 $V$ ，其边界 $S$ 为光滑的简单闭曲面，$\displaystyle n= (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $S$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的单位外法向量． $\displaystyle \mathbf{r}=(x, y, z),(\mathbf{n}, \mathbf{r})$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 与 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的夹角， $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续可微函数，且满足 $\displaystyle t f^{\prime}(t)+2 f(t)-t=0$ ，计算积分

$$
\iint_{S} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \cos (n, r) \mathrm{d} S
$$

六．（15 分）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $n$ ，令 $\displaystyle x_{i}=a+\frac{b-a}{n} i, i=1,2, \cdots, n$ ，记

$$
A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, n=1,2, \cdots
$$

证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]$ ．

四．（10分）利用确界原理证明有限覆盖定理．